题目
22. (10.0分) (x_(1),x_(2),...,x_(n))是取自如下指数分布的子样f(x)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta)&xgeq0theta&其他利用克拉默-拉欧不等式验证overline(x)是否为theta的无偏、有效估计。
22. (10.0分) $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是取自如下指数分布的子样
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}&x\geq0\\\theta&其他\end{cases}$
利用克拉默-拉欧不等式验证$\overline{x}$是否为$\theta$的无偏、有效估计。
题目解答
答案
-
无偏性：
指数分布的期望为 $E(X_i) = \theta$，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的期望为：
$E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \theta$
故 $\bar{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。 -
克拉默-拉欧下界：
Fisher 信息量 $I(\theta)$ 为：
$I(\theta) = E\left[ \left( \frac{\partial}{\partial \theta} \log f(X; \theta) \right)^2 \right] = \frac{1}{\theta^2}$
克拉默-拉欧下界为：
$\frac{1}{nI(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}$ -
$\bar{X}$ 的方差：
$\bar{X}$ 的方差为：
$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}$
与克拉默-拉欧下界相等，说明 $\bar{X}$ 是有效估计。
结论：
$\bar{X}$ 是 $\theta$ 的无偏、有效估计。
$\boxed{
\bar{X} \text{ 是 } \theta \text{ 的无偏、有效估计。}$