题目
设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为X-|||--2 -1 0 1 4 P×3-|||-Y-|||-0 0.2 0 0.1 0.2 0-|||-1 0 0.2 0.1 0 0.2-|||-Pi×求 ：( 1 ) X 的边缘分布律和 Y 的边缘分布律 ; ( 2 ) 协方差 Cov ( X , Y ) ; ( 3 ) 判断 X,Y 是否线性相关是否相互独立并说明理由
设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为
求 ：( 1 ) X 的边缘分布律和 Y 的边缘分布律 ;
( 2 ) 协方差 Cov ( X , Y ) ;
( 3 ) 判断 X,Y 是否线性相关是否相互独立并说明理由
题目解答
答案
(1)
P(X=-2)=0.2+0=0.2 P(X=-1)=0+0.2=0.2
P(X=0)=0.1+0.1=0.2 P(X=1)=0.2+0=0.2
P(X=4)=0+0.2=0.2
P(Y=0)=0.2+0+0.1+0.2+0=0.5
P(Y=1)=0+0.2+0.1+0+0.2=0.5
(2)
E(X)=(-2)×0.2+(-1)×0.2+0×0.2+1×0.2+4×0.2=0.4
E(Y)=0×0.5=1×0.5=0.5
XY的分布列为：
E(XY)=(-1)×0.2+0×0.6+4×0.2=0.6
∵
∴COV(X,Y)=0.6-0.4×0.5=0.4
（3）
∵COV(X,Y)=0.4＞0
∴X,Y相关
∵E(X)×E(Y)=0.2
E(XY)≠E(X)×E(Y)
∴X,Y不独立
解析
步骤 1：计算 X 的边缘分布律
根据联合分布律，计算 X 的边缘分布律，即 P(X=x)。对于每个 x，将联合分布律中对应 x 的所有 y 的概率相加。
步骤 2：计算 Y 的边缘分布律
根据联合分布律，计算 Y 的边缘分布律，即 P(Y=y)。对于每个 y，将联合分布律中对应 y 的所有 x 的概率相加。
步骤 3：计算 E(X) 和 E(Y)
根据边缘分布律，计算 X 和 Y 的期望值 E(X) 和 E(Y)。
步骤 4：计算 E(XY)
根据联合分布律，计算 E(XY)。
步骤 5：计算协方差 Cov(X,Y)
根据公式 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，计算协方差。
步骤 6：判断 X 和 Y 是否线性相关
根据协方差的值判断 X 和 Y 是否线性相关。
步骤 7：判断 X 和 Y 是否相互独立
根据 E(XY) 是否等于 E(X)E(Y) 判断 X 和 Y 是否相互独立。
根据联合分布律，计算 X 的边缘分布律，即 P(X=x)。对于每个 x，将联合分布律中对应 x 的所有 y 的概率相加。
步骤 2：计算 Y 的边缘分布律
根据联合分布律，计算 Y 的边缘分布律，即 P(Y=y)。对于每个 y，将联合分布律中对应 y 的所有 x 的概率相加。
步骤 3：计算 E(X) 和 E(Y)
根据边缘分布律，计算 X 和 Y 的期望值 E(X) 和 E(Y)。
步骤 4：计算 E(XY)
根据联合分布律，计算 E(XY)。
步骤 5：计算协方差 Cov(X,Y)
根据公式 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，计算协方差。
步骤 6：判断 X 和 Y 是否线性相关
根据协方差的值判断 X 和 Y 是否线性相关。
步骤 7：判断 X 和 Y 是否相互独立
根据 E(XY) 是否等于 E(X)E(Y) 判断 X 和 Y 是否相互独立。