幂级数sum_(n=0)^infty(n+1)/(n!)x^n的和函数为（）A xe^x,xin(-infty,+infty).B (1+x)e^x,xin(-infty,+infty).C e^x,xin(-infty,+infty).D (1+x^2)e^x,xin(-infty,+infty).
题目解答
答案
为了求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n$ 的和函数，我们可以先确定其收敛域，然后通过拆分级数来求和。
第一步：确定收敛域
设级数的通项系数为 $a_n = \frac{n+1}{n!}$。
计算收敛半径 $R$：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = 0$
因为极限为 $0$，所以收敛半径 $R = \infty$。
这意味着该幂级数在整个实数轴 $(-\infty, +\infty)$ 上收敛。
第二步：求和函数
令和函数为 $s(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n$。
我们可以将通项 $\frac{n+1}{n!}$ 拆分为两部分：
$\frac{n+1}{n!} = \frac{n}{n!} + \frac{1}{n!}$
因此，原级数可以写成两个级数之和：
$s(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n}{n!} + \frac{1}{n!} \right) x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n$
我们知道指数函数的麦克劳林级数展开式为：
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
所以，第一个级数就是 $e^x$。
对于第二个级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n$，当 $n=0$ 时，项为 $0$，因此可以从 $n=1$ 开始求和：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n$
化简通项 $\frac{n}{n!} = \frac{n}{n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$，代入得：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} x^n$
提取一个 $x$：
$= x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$
令 $k = n-1$，当 $n$ 从 $1$ 变到 $\infty$ 时，$k$ 从 $0$ 变到 $\infty$：
$= x \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = x e^x$
将两部分结果相加，得到和函数：
$s(x) = e^x + x e^x = (1+x)e^x$
结论
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n$ 的和函数为 $(1+x)e^x$，定义域为 $x \in (-\infty, +\infty)$。
对比选项：
A. $xe^x, x \in (-\infty, +\infty)$
B. $(1+x)e^x, x \in (-\infty, +\infty)$
C. $e^x, x \in (-\infty, +\infty)$
D. $(1+x^2)e^x, x \in (-\infty, +\infty)$
正确选项是 B。
解析
本题考查幂级数的收敛域以及和函数的求解。解题思路是先通过求收敛半径确定幂级数的收敛域，再将幂级数的通项进行拆分，利用已知的指数函数的麦克劳林级数展开式分别求出拆分后两个级数的和函数，最后将它们相加得到原幂级数的和函数。
第一步：确定收敛域
设级数的通项系数为$a_n = \frac{n + 1}{n!}$。
根据收敛半径的计算公式$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\right|$（本题使用$\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$来计算），计算收敛半径$R$：
$\begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|&=\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{n + 2}{(n + 1)!}}{\frac{n + 1}{n!}} \right|\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{n!}{(n + 1)!}\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{1}{n + 1}\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 2}{(n + 1)^2}\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n^2 + 2n + 1}\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{2}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}\\&= 0\end{align*}$
因为极限为$0$，所以收敛半径$R = \infty$。
这意味着该幂级数在整个实数轴$(-\infty, +\infty)$上收敛。
第二步：求和函数
令和函数为$s(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n + 1}{n!} x^n$。
将通项$\frac{n + 1}{n!}$拆分为两部分：$\frac{n + 1}{n!} = \frac{n}{n!} + \frac{1}{n!}$。
因此，原级数可以写成两个级数之和：
$s(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \frac{n}{n!} + \frac{1}{n!} \right) x^n = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n$。
我们知道指数函数的麦克劳林级数展开式为：$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，所以第一个级数就是$e^x$。
对于第二个级数$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n$，当$n = 0$时，项为$0$，因此可以从$n = 1$开始求和：
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n$。
化简通项$\frac{n}{n!} = \frac{n}{n \cdot (n - 1)!} = \frac{1}{(n - 1)!}$，代入得：
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} x^n$。
提取一个$x$：
$= x \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!}$。
令$k = n - 1$，当$n$从$1$变到$\infty$时，$k$从$0$变到$\infty$：
$= x \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = x e^x$。
将两部分结果相加，得到和函数：
$s(x) = e^x + x e^x = (1 + x)e^x$。