题目
3.已知 (x)=dfrac (2x)(3x-1), 则 ^-1(x)= __
题目解答
答案
解析
本题考查反函数的求解。解题思路是先设$y = f(x)$，然后通过一系列等式变形，用$y$表示$x$，最后将$x$与$y$互换，得到$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)$。
- 设$y = f(x)$，则$y=\dfrac{2x}{3x - 1}$。
- 为了用$y$表示$x$，先在等式两边同时乘以$3x - 1$，得到$y(3x - 1)=2x$。
- 展开括号可得$3xy - y = 2x$。
- 将含有$x$的项移到等式一边，得到$3xy - 2x = y$。
- 提取公因式$x$，即$x(3y - 2)=y$。
- 当$3y - 2\neq0$时，两边同时除以$3y - 2$，解得$x = \dfrac{y}{3y - 2}$。
- 最后将$x$与$y$互换，得到$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)=\dfrac{x}{3x - 2}$。