6.下列选项中，极限存在的是( ).A. lim_(xto0)(sin x)/(|x|)arctan(1)/(|x|)B. lim_(xto0)(sin x)/(x)arctan(1)/(x)C. lim_(xto0)(|sin x|)/(|x|)arctan(1)/(x)D. lim_(xto0)(|sin x|)/(x)arctan(1)/(x)

本题考查函数极限存在性的判断，解题的关键在于分别计算各选项函数在$x\to0$时的左极限和右极限，若左右极限相等，则极限存在，否则极限不存在。

A选项

对于$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}$：

• 当$x\to0^+$时，$x\gt0$，则$|x| = x$，$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x}$，根据重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，可得$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x}=1$。
  同时$\lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{|x|}=\lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。
  根据极限的乘法法则$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=\lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)$，可得$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}=1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时，$x\lt0$，则$|x| = -x$，$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|}=\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x}=-1$。
  $\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{|x|}=\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{-x}=\frac{\pi}{2}$。
  所以$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}=-1\times\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$。
  由于$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}\neq\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}$，所以该极限不存在。

B选项

对于$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$：
已知$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$。

• 当$x\to0^+$时，$\lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$，则$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时，$\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}$，则$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=1\times(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$。
  因为$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}\neq\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$，所以该极限不存在。

C选项

对于$\lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{|x|} \arctan \frac{1}{x}$：
因为$\lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{|x|}=1$。

• 当$x\to0^+$时，$\lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$，所以$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{|x|} \arctan \frac{1}{x}=1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时，$\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}$，所以$\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{|x|} \arctan \frac{1}{x}=1\times(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$。
  由于$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{|x|} \arctan \frac{1}{x}\neq\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{|x|} \arctan \frac{1}{x}$，所以该极限不存在。

D选项

对于$\lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}$：

• 当$x\to0^+$时，$x\gt0$，$|\sin x|=\sin x$，$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{x}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x}=1$，$\lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。
  根据极限的乘法法则可得$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时，$x\lt0$，$|\sin x|=-\sin x$，$\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{x}=\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x}=-1$，$\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}$。
  所以$\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=(-1)\times(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$。
  因为$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$，所以该极限存在且等于$\frac{\pi}{2}$。