5.已知 (x,y)=(x)^y ,求fx(2,1),fy(2,1)

考查要点：本题主要考查二元函数的偏导数计算，涉及对变量的求导规则及代入特定点的值。

解题核心思路：

1. 对x求偏导：将y视为常数，利用幂函数求导法则，导数为$y \cdot x^{y-1}$。
2. 对y求偏导：将x视为常数，利用指数函数求导法则，导数为$x^y \cdot \ln x$。
3. 代入点(2,1)：将x=2，y=1代入偏导数表达式中计算具体值。

关键点：

• 区分变量：求偏导时需明确对哪个变量求导，另一变量视为常数。
• 代入顺序：先求导再代入数值，避免混淆。

函数定义：$f(x, y) = x^y$

对x求偏导数$f_x(x, y)$

1. 求导规则：将y视为常数，对$x^y$求导，结果为：
   $f_x(x, y) = y \cdot x^{y-1}$
2. 代入点(2,1)：
   $f_x(2, 1) = 1 \cdot 2^{1-1} = 1 \cdot 2^0 = 1$

对y求偏导数$f_y(x, y)$

1. 求导规则：将x视为常数，对$x^y$求导，结果为：
   $f_y(x, y) = x^y \cdot \ln x$
2. 代入点(2,1)：
   $f_y(2, 1) = 2^1 \cdot \ln 2 = 2 \ln 2 \approx 1.386$

注意：题目答案中$f_x(2,1)=2$和$f_y(2,1)=0$可能存在错误，建议核对题目或答案是否准确。