题目
有界函数乘以无穷小还是无穷小。（A）正确（B）错误
有界函数乘以无穷小还是无穷小。
（A）正确
（B）错误
题目解答
答案
根据无穷小量的相关性质：
有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
例如
因为
，
为无穷小量，
为有界变量。
根据无穷小量的性质
极限仍为无穷小量
即
∴本题应该选择（A）选项。
解析
步骤 1：定义有界函数和无穷小量
有界函数是指在某个区间内，函数的值不会超过某个固定的范围。无穷小量是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于0的函数。
步骤 2：应用无穷小量的性质
根据无穷小量的性质，有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量。这是因为有界函数的值不会超过某个固定的范围，而无穷小量的值趋近于0，因此它们的乘积也会趋近于0。
步骤 3：举例说明
例如，考虑函数$f(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，当$x$趋近于0时，$x$是无穷小量，而$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$是有界函数，因为$-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$。根据无穷小量的性质，$x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$的极限为0，即$\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$。
有界函数是指在某个区间内，函数的值不会超过某个固定的范围。无穷小量是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于0的函数。
步骤 2：应用无穷小量的性质
根据无穷小量的性质，有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量。这是因为有界函数的值不会超过某个固定的范围，而无穷小量的值趋近于0，因此它们的乘积也会趋近于0。
步骤 3：举例说明
例如，考虑函数$f(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，当$x$趋近于0时，$x$是无穷小量，而$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$是有界函数，因为$-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$。根据无穷小量的性质，$x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$的极限为0，即$\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$。