题目

设总体 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2)，其中 mu，sigma^2 未知，(X_1, X_2, ldots, X_n) 是来自该总体的一个样本，则 sigma^2 的极大似然估计量为(）A. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2D. (1)/(n+1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2

设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$，$\sigma^2$ 未知，$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 是来自该总体的一个样本，则 $\sigma^2$ 的极大似然估计量为(）

A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$

D. $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

题目解答

答案

B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

解析

本题考查正态分布参数的极大极大似然估计，解题思路是先写出正态分布的对数似然函数，然后对参数求导并令导数为零，从而得到得到参数的极大似然估计量。

  1. 写出正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的对数似然函数：
    对数似然函数为 $\ell(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2}log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2$。
  2. 对 $\mu$ 求导并令导数为零：
    $\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \_{i_{i = 1}^{n} (X_i - \mu) = 0$，解得 $\mu = \overline{X}$ = \frac{1}{n} \i_{i = 1}^{n} X_i)。
  3. 将 $\mu = \overline{X}$ 代入对数似然函数并对 $\sigma^2$ 求导并令导数为零：
    $\frac{\partial \ell}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\(\sigma^2)^2} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 = 0$，解得 $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。