.求下UNDUNDUND::-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin kx)(x);

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用基本极限公式或等价无穷小替换来处理三角函数与多项式的比值问题。

解题核心思路：
当遇到形如 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x}$ 的极限时，可以通过以下两种方式解决：

1. 变量替换法：将 $kx$ 看作整体，利用已知极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，通过变量替换转化为标准形式。
2. 等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$\sin(kx) \sim kx$，直接替换后化简即可。

破题关键点：

• 识别题目结构：分子为 $\sin(kx)$，分母为 $x$，属于典型的可应用基本极限或等价无穷小的结构。
• 灵活选择方法：根据个人熟练程度选择变量替换、等价无穷小或洛必达法则（若适用）。

方法一：变量替换法

1. 设变量替换：令 $t = kx$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$，且 $x = \frac{t}{k}$。
2. 改写原式：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{\frac{t}{k}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \cdot k$
3. 应用基本极限：
   $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{原式} = k \cdot 1 = k$

方法二：等价无穷小替换

1. 替换$\sin(kx)$：当 $x \to 0$ 时，$\sin(kx) \sim kx$。
2. 化简表达式：
   $\frac{\sin(kx)}{x} \sim \frac{kx}{x} = k$
3. 直接得极限：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$

方法三：洛必达法则

1. 验证条件：当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin(kx) \to 0$，分母 $x \to 0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
2. 求导分子分母：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \sin(kx)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to 0} \frac{k \cos(kx)}{1}$
3. 代入计算：
   $k \cos(0) = k \cdot 1 = k$