题目
总体X的期望是，是来自总体X的一个样本，以下哪个统计量不是的无偏估计量（）A.B.C.D.
总体X的期望是
，
是来自总体X的一个样本，以下哪个统计量不是的无偏估计量（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
总体X的期望是，即
，来自总体X的样本相互独立且都服从总体X的分布，则
，如果
，则
是的无偏估计量，则
，则选项A是的无偏估计量；
，则选项B是的无偏估计量；
，则选项C不是的无偏估计量；
，则选项D是的无偏估计量，因此选择C。
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指一个统计量的期望值等于总体参数的值。即如果$E(\hat{\mu}) = \mu$，则$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量。
步骤 2：计算每个选项的期望值
A. $E(X_1) = \mu$，因为$X_1$是来自总体X的一个样本，所以$X_1$的期望值等于总体的期望值$\mu$。
B. $E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu = \mu$，因为样本均值$\overline{X}$的期望值等于总体的期望值$\mu$。
C. $E(\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3}) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \frac{2}{3}\mu \neq \mu$，因为$\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3}$的期望值不等于总体的期望值$\mu$。
D. $E(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_n}{6}) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_n) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu = \mu$，因为$\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_n}{6}$的期望值等于总体的期望值$\mu$。
步骤 3：确定哪个统计量不是的无偏估计量
根据步骤2的计算结果，选项C的统计量$\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3}$的期望值不等于总体的期望值$\mu$，因此它不是$\mu$的无偏估计量。
无偏估计量是指一个统计量的期望值等于总体参数的值。即如果$E(\hat{\mu}) = \mu$，则$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量。
步骤 2：计算每个选项的期望值
A. $E(X_1) = \mu$，因为$X_1$是来自总体X的一个样本，所以$X_1$的期望值等于总体的期望值$\mu$。
B. $E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu = \mu$，因为样本均值$\overline{X}$的期望值等于总体的期望值$\mu$。
C. $E(\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3}) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \frac{2}{3}\mu \neq \mu$，因为$\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3}$的期望值不等于总体的期望值$\mu$。
D. $E(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_n}{6}) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_n) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu = \mu$，因为$\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_n}{6}$的期望值等于总体的期望值$\mu$。
步骤 3：确定哪个统计量不是的无偏估计量
根据步骤2的计算结果，选项C的统计量$\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3}$的期望值不等于总体的期望值$\mu$，因此它不是$\mu$的无偏估计量。