例4 一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25,为试验一种新药是否有-|||-效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有4个治好则认为这种药有-|||-效,反之则认为无效.求:-|||-(1)虽然新药有效,且把痊愈率提高到0.35,但通过试验却被否定的概率;-|||-(2)新药完全无效,但通过试验却被认为有效的概率.

考查要点：本题属于假设检验中的实际应用问题，涉及二项分布的概率计算，重点考察学生对第一类错误（α错误）和第二类错误（β错误）的理解与应用。

解题核心思路：

1. 明确假设：将“新药无效”设为原假设$H_0$（痊愈率$p=0.25$），新药有效为备择假设$H_1$（痊愈率$p=0.35$）。
2. 判断标准：根据题意，若痊愈人数$\geq4$则拒绝$H_0$（认为药有效），否则保留$H_0$（认为药无效）。
3. 关键概率计算：
   • （1） 当$H_1$为真（$p=0.35$）时，观测到痊愈人数$\leq3$的概率（第二类错误$\beta$）。
   • （2） 当$H_0$为真（$p=0.25$）时，观测到痊愈人数$\geq4$的概率（第一类错误$\alpha$）。

破题关键点：

• 正确识别题目中的假设检验模型。
• 熟练应用二项分布的累积概率公式，通过组合数与概率乘积求和计算。

第（1）题

目标：计算新药有效（$p=0.35$）但被否定的概率（$\beta$错误）。

1. 事件定义：设$A$为“试验否定新药有效”，即痊愈人数$X \leq3$。
2. 概率公式：
   $P(A) = \sum_{k=0}^{3} C_{10}^k (0.35)^k (0.65)^{10-k}$
3. 计算步骤：
   • $k=0$：$C_{10}^0 (0.35)^0 (0.65)^{10} \approx 0.01346$
   • $k=1$：$C_{10}^1 (0.35)^1 (0.65)^9 \approx 0.07231$
   • $k=2$：$C_{10}^2 (0.35)^2 (0.65)^8 \approx 0.1746$
   • $k=3$：$C_{10}^3 (0.35)^3 (0.65)^7 \approx 0.2522$
4. 结果：
   $P(A) \approx 0.01346 + 0.07231 + 0.1746 + 0.2522 = 0.5138$

第（2）题

目标：计算新药无效（$p=0.25$）但被认为有效的概率（$\alpha$错误）。

1. 事件定义：设$B$为“试验认为新药有效”，即痊愈人数$X \geq4$。
2. 概率公式：
   $P(B) = 1 - \sum_{k=0}^{3} C_{10}^k (0.25)^k (0.75)^{10-k}$
3. 计算步骤：
   • $k=0$：$C_{10}^0 (0.25)^0 (0.75)^{10} \approx 0.0563$
   • $k=1$：$C_{10}^1 (0.25)^1 (0.75)^9 \approx 0.18775$
   • $k=2$：$C_{10}^2 (0.25)^2 (0.75)^8 \approx 0.2815$
   • $k=3$：$C_{10}^3 (0.25)^3 (0.75)^7 \approx 0.2498$
4. 结果：
   $P(B) = 1 - (0.0563 + 0.18775 + 0.2815 + 0.2498) \approx 1 - 0.77535 = 0.2246$