题目
设_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)是来自总体_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)的样本，则样本均值_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)和_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)都是总体均值的无偏估计。（）A.正确B.错误
设
是来自总体
的样本，则样本均值
和
都是总体均值的无偏估计。（）
A.正确
B.错误
题目解答
答案
由题意得，是来自总体的样本，则样本均值
，故是无偏估计量，同理得，
，故不是无偏估计量，故选项是B。
解析
步骤 1：定义无偏估计量
无偏估计量是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于样本均值$\overline{X}$，如果$E(\overline{X}) = \mu$，其中$\mu$是总体均值，那么$\overline{X}$是$\mu$的无偏估计量。
步骤 2：验证样本均值是否为无偏估计量
样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，其中$X_i$是来自总体的样本。根据期望的线性性质，$E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu$。因此，样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
步骤 3：验证$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2$是否为无偏估计量
对于$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2$，其期望值$E(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu = \frac{5}{6}\mu$。由于$\frac{5}{6}\mu \neq \mu$，所以$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2$不是总体均值$\mu$的无偏估计量。
无偏估计量是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于样本均值$\overline{X}$，如果$E(\overline{X}) = \mu$，其中$\mu$是总体均值，那么$\overline{X}$是$\mu$的无偏估计量。
步骤 2：验证样本均值是否为无偏估计量
样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，其中$X_i$是来自总体的样本。根据期望的线性性质，$E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu$。因此，样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
步骤 3：验证$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2$是否为无偏估计量
对于$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2$，其期望值$E(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu = \frac{5}{6}\mu$。由于$\frac{5}{6}\mu \neq \mu$，所以$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2$不是总体均值$\mu$的无偏估计量。