题目
X_1 ... X_n 和 Y_1 ... Y_n 分别取自正态总体 X sim N(mu_1, sigma^2) 和 Y sim N(mu_2, sigma^2), 且 X 与 Y 独立, 则 ((n-1)(S_1^2 + S_2^2))/(sigma^2) 服从A. t 分布B. F 分布C. chi^2 分布D. 正态分布
$X_1 \cdots X_n$ 和 $Y_1 \cdots Y_n$ 分别取自正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$, 且 $X$ 与 $Y$ 独立, 则 $\frac{(n-1)(S_1^2 + S_2^2)}{\sigma^2}$ 服从
A. t 分布
B. F 分布
C. $\chi^2$ 分布
D. 正态分布
题目解答
答案
C. $\chi^2$ 分布
解析
步骤 1：样本方差的卡方分布
对于正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，样本方差 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 满足： \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}, \quad \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \] 这是因为样本方差的分布与卡方分布有关，且自由度为 $n-1$。
步骤 2：卡方变量之和的分布
由于两样本独立，两卡方变量之和仍为卡方变量，自由度相加： \[ \frac{(n-1)(S_1^2 + S_2^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2_{2n-2} \] 这是因为卡方分布的可加性，即两个独立的卡方变量之和仍为卡方变量，且自由度为两个卡方变量自由度之和。
对于正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，样本方差 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 满足： \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}, \quad \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \] 这是因为样本方差的分布与卡方分布有关，且自由度为 $n-1$。
步骤 2：卡方变量之和的分布
由于两样本独立，两卡方变量之和仍为卡方变量，自由度相加： \[ \frac{(n-1)(S_1^2 + S_2^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2_{2n-2} \] 这是因为卡方分布的可加性，即两个独立的卡方变量之和仍为卡方变量，且自由度为两个卡方变量自由度之和。