题目
×与×不线性相关的充要条件是×。×正确×错误
与
不线性相关的充要条件是
。
正确
错误
题目解答
答案
若与不线性相关，
则协方差
，由
可知
，即
反之，若是，不难得出协方差，则与不线性相关
综上所述与不线性相关的充要条件是，题干正确，故选择
选项
解析
步骤 1：理解线性相关与协方差的关系
线性相关性可以通过协方差来衡量。如果两个随机变量X和Y线性相关，那么它们的协方差$cov(X,Y)$不为零。协方差的定义是$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，其中$E(X)$和$E(Y)$分别是X和Y的期望值，$E(XY)$是XY的期望值。
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出的条件是$(XY)=E(X)E(Y)$。根据协方差的定义，如果$(XY)=E(X)E(Y)$，那么$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。这意味着X和Y的协方差为零，即X和Y不线性相关。
步骤 3：验证充要条件
题目要求验证与不线性相关的充要条件是$(XY)=E(X)E(Y)$。根据步骤2的分析，如果$(XY)=E(X)E(Y)$，则$cov(X,Y)=0$，即X和Y不线性相关。反过来，如果X和Y不线性相关，即$cov(X,Y)=0$，则$E(XY)-E(X)E(Y)=0$，即$(XY)=E(X)E(Y)$。因此，$(XY)=E(X)E(Y)$是X和Y不线性相关的充要条件。
线性相关性可以通过协方差来衡量。如果两个随机变量X和Y线性相关，那么它们的协方差$cov(X,Y)$不为零。协方差的定义是$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，其中$E(X)$和$E(Y)$分别是X和Y的期望值，$E(XY)$是XY的期望值。
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出的条件是$(XY)=E(X)E(Y)$。根据协方差的定义，如果$(XY)=E(X)E(Y)$，那么$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。这意味着X和Y的协方差为零，即X和Y不线性相关。
步骤 3：验证充要条件
题目要求验证与不线性相关的充要条件是$(XY)=E(X)E(Y)$。根据步骤2的分析，如果$(XY)=E(X)E(Y)$，则$cov(X,Y)=0$，即X和Y不线性相关。反过来，如果X和Y不线性相关，即$cov(X,Y)=0$，则$E(XY)-E(X)E(Y)=0$，即$(XY)=E(X)E(Y)$。因此，$(XY)=E(X)E(Y)$是X和Y不线性相关的充要条件。