题目
12-14 如图所示,在一无限长直载流导线的近-|||-旁放置一个矩形导体线框,该线框在垂直于导线方向-|||-上以匀速率v向右移动.求在图示位置处线框中的感-|||-应电动势的大小和方向.-|||-14-|||-l2 数-|||-d-|||-习题 12-14 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
无限长直载流导线产生的磁场分布可以用毕奥-萨伐尔定律计算，其磁场强度为 $B = \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是导线中的电流，$r$ 是到导线的距离。
步骤 2：计算线框中的感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线框中的感应电动势 $\mathcal{E}$ 与穿过线框的磁通量变化率成正比，即 $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt}$。由于线框以匀速率 $v$ 向右移动，磁通量的变化率与线框的移动速度有关。线框的面积变化率可以表示为 $dA/dt = v{l}_{2}$，其中 ${l}_{2}$ 是线框的长度。因此，感应电动势可以表示为 $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{d}{dt} \left( B \cdot A \right)$。
步骤 3：计算感应电动势的大小
将磁场强度 $B = \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$ 代入感应电动势的表达式中，得到 $\mathcal{E} = -\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot A \right) = -\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{A}{r} \right)$。由于线框的面积 $A = {l}_{1}{l}_{2}$，且 $r = d + {l}_{1}$，因此 $\mathcal{E} = -\dfrac{{\mu }_{0}I{l}_{2}v}{2\pi} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{d + {l}_{1}} \right) = \dfrac{{\mu }_{0}I{l}_{2}v}{2\pi (d + {l}_{1})^2}$。由于线框的移动方向与磁场方向垂直，因此感应电动势的方向为顺时针方向。
无限长直载流导线产生的磁场分布可以用毕奥-萨伐尔定律计算，其磁场强度为 $B = \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是导线中的电流，$r$ 是到导线的距离。
步骤 2：计算线框中的感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线框中的感应电动势 $\mathcal{E}$ 与穿过线框的磁通量变化率成正比，即 $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt}$。由于线框以匀速率 $v$ 向右移动，磁通量的变化率与线框的移动速度有关。线框的面积变化率可以表示为 $dA/dt = v{l}_{2}$，其中 ${l}_{2}$ 是线框的长度。因此，感应电动势可以表示为 $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{d}{dt} \left( B \cdot A \right)$。
步骤 3：计算感应电动势的大小
将磁场强度 $B = \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$ 代入感应电动势的表达式中，得到 $\mathcal{E} = -\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot A \right) = -\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{A}{r} \right)$。由于线框的面积 $A = {l}_{1}{l}_{2}$，且 $r = d + {l}_{1}$，因此 $\mathcal{E} = -\dfrac{{\mu }_{0}I{l}_{2}v}{2\pi} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{d + {l}_{1}} \right) = \dfrac{{\mu }_{0}I{l}_{2}v}{2\pi (d + {l}_{1})^2}$。由于线框的移动方向与磁场方向垂直，因此感应电动势的方向为顺时针方向。