半径分别为R和r的两个金属球,相距很远. 用一根长导线将两球连接,并使它们带电.在忽略导线影响的情况下,两球表面的电荷面密度之比σ R /σ r 为( )A.r/rB.r2/r2C.r2/r2D.r/r

考查要点：本题主要考查静电平衡条件下导体球的电荷分布与电势关系，以及电荷面密度的计算。

解题核心思路：

1. 等势条件：两金属球用导线连接，达到静电平衡时电势相等。
2. 电势公式：金属球的电势由其电荷量和半径决定，公式为 $V = \frac{kQ}{R}$。
3. 电荷面密度：电荷面密度 $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$，需结合电势相等条件推导电荷量关系，再求比值。

破题关键点：

• 通过电势相等建立两球电荷量的关系 $Q_R / Q_r = R / r$。
• 结合电荷面密度公式，代入电荷量关系，最终得到 $\sigma_R / \sigma_r = r / R$。

1. 等势条件分析
   两球用导线连接，静电平衡时电势相等：
   $\frac{k Q_R}{R} = \frac{k Q_r}{r} \implies \frac{Q_R}{Q_r} = \frac{R}{r}.$

2. 电荷面密度公式
   电荷面密度 $\sigma$ 与电荷量 $Q$ 和表面积 $4\pi R^2$ 的关系为：
   $\sigma_R = \frac{Q_R}{4\pi R^2}, \quad \sigma_r = \frac{Q_r}{4\pi r^2}.$

3. 面密度比值计算
   将 $\frac{Q_R}{Q_r} = \frac{R}{r}$ 代入面密度公式：
   $\frac{\sigma_R}{\sigma_r} = \frac{\frac{Q_R}{4\pi R^2}}{\frac{Q_r}{4\pi r^2}} = \frac{Q_R}{Q_r} \cdot \frac{r^2}{R^2} = \frac{R}{r} \cdot \frac{r^2}{R^2} = \frac{r}{R}.$