24.设f(x,y)=}(y-e^(1)/(x^(2)))(y-3e^(1)/(x^(2))),&xneq0,y^2,&x=0,则点(0,0)（）.(A)是f(x,x)的极小值点，也是f(x,y)的极小值点(B)是f(x,x)的极小值点，不是f(x,y)的极小值点(C)不是f(x,x)的极小值点，是f(x,y)的极小值点(D)不是f(x,x)的极小值点，也不是f(x,y)的极小值点

为了判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x,x)$ 的极小值点以及是否为 $f(x,y)$ 的极小值点，我们需要分别分析这两个函数在该点附近的性质。

已知函数定义为：
$f(x,y) = \begin{cases} (y - e^{-\frac{1}{x^2}})(y - 3e^{-\frac{1}{x^2}}), & x \neq 0 \\ y^2, & x = 0 \end{cases}$

首先，计算函数在点 $(0,0)$ 处的值。根据定义，当 $x=0$ 时，$f(0,y) = y^2$。
所以，$f(0,0) = 0^2 = 0$。

第一步：分析 $f(x,x)$ 在 $x=0$ 处的极值情况

我们需要构造一元函数 $g(x) = f(x,x)$ 并分析其在 $x=0$ 附近的符号。

1. 当 $x = 0$ 时，$g(0) = f(0,0) = 0$。
2. 当 $x \neq 0$ 时，代入 $y=x$ 到 $x \neq 0$ 的分段表达式中：
   $g(x) = f(x,x) = \left(x - e^{-\frac{1}{x^2}}\right)\left(x - 3e^{-\frac{1}{x^2}}\right)$

我们需要判断当 $x$ 在 $0$ 附近（即 $x \to 0$）时，$g(x)$ 的符号。
当 $x \to 0$ 时，指数项 $e^{-\frac{1}{x^2}}$ 是比任何 $x$ 的正次幂都要高阶的无穷小量。也就是说，当 $x$ 足够接近 $0$ 时，$x$ 的值远大于 $e^{-\frac{1}{x^2}}$。
具体来说，当 $x$ 足够小（例如 $0 < |x| < 1$）时，有 $x > 3e^{-\frac{1}{x^2}} > e^{-\frac{1}{x^2}} > 0$ （对于 $x>0$），以及 $x < 0 < e^{-\frac{1}{x^2}}$ （对于 $x<0$）。

• 如果 $x > 0$ 且非常小，那么 $x - e^{-\frac{1}{x^2}} > 0$ 且 $x - 3e^{-\frac{1}{x^2}} > 0$，所以 $g(x) > 0$。
• 如果 $x < 0$ 且非常小（接近 $0$），那么 $x$ 是负数，而 $e^{-\frac{1}{x^2}}$ 是正数。因此 $x - e^{-\frac{1}{x^2}} < 0$ 且 $x - 3e^{-\frac{1}{x^2}} < 0$。两个负数相乘得到正数，所以 $g(x) > 0$。

综上所述，在 $x=0$ 的某个去心邻域内，$g(x) = f(x,x) > 0$。
又因为 $g(0) = 0$，所以 $g(x) \ge g(0)$ 在 $x=0$ 附近恒成立。
因此，点 $(0,0)$ 是 $f(x,x)$ 的极小值点。

第二步：分析 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的极值情况

我们需要判断在点 $(0,0)$ 的任意邻域内，$f(x,y)$ 是否总是大于等于 $f(0,0)=0$。
已知 $f(0,0) = 0$。

考虑当 $x \neq 0$ 时的表达式：
$f(x,y) = \left(y - e^{-\frac{1}{x^2}}\right)\left(y - 3e^{-\frac{1}{x^2}}\right)$
这是一个关于 $y$ 的二次函数。令 $a = e^{-\frac{1}{x^2}}$，则 $a > 0$。
$f(x,y) = (y - a)(y - 3a)$
这个二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，其零点为 $y = a$ 和 $y = 3a$。
在两个零点之间，即当 $a < y < 3a$ 时，函数值小于 $0$。
也就是说，当 $e^{-\frac{1}{x^2}} < y < 3e^{-\frac{1}{x^2}}$ 时，$f(x,y) < 0$。

现在我们在 $(0,0)$ 附近取点。对于任意小的 $\delta > 0$，只要取 $x$ 满足 $0 < |x| < \delta$，并且取 $y$ 满足 $e^{-\frac{1}{x^2}} < y < 3e^{-\frac{1}{x^2}}$（例如取 $y = 2e^{-\frac{1}{x^2}}$），那么点 $(x,y)$ 就在 $(0,0)$ 的邻域内（因为当 $x \to 0$ 时，$e^{-\frac{1}{x^2}} \to 0$，所以 $y \to 0$）。
在这个点上，函数值为：
$f\left(x, 2e^{-\frac{1}{x^2}}\right) = \left(2e^{-\frac{1}{x^2}} - e^{-\frac{1}{x^2}}\right)\left(2e^{-\frac{1}{x^2}} - 3e^{-\frac{1}{x^2}}\right) = \left(e^{-\frac{1}{x^2}}\right)\left(-e^{-\frac{1}{x^2}}\right) = -e^{-\frac{2}{x^2}} < 0$
由于在点 $(0,0)$ 的任意邻域内都存在使得 $f(x,y) < 0 = f(0,0)$ 的点，因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不满足极小值的定义。
所以，点 $(0,0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极小值点。

结论

通过以上推导：

• 点 $(0,0)$ 是 $f(x,x)$ 的极小值点。
• 点 $(0,0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极小值点。

对比选项，符合的是 (B)。

正确答案是 (B)。