题目
设随机变量X，Y相互独立，方差分别为2和4，则随机变量2X-3Y的方差是_______.
设随机变量X，Y相互独立，方差分别为2和4，则随机变量
的方差是_______.
题目解答
答案
随机变量X，Y相互独立，则
，X和Y的方差分别为2和4，即
，则随机变量的方差是
.
解析
步骤 1：确定方差的性质
方差的性质之一是，对于两个随机变量X和Y，如果它们相互独立，则它们的协方差Cov(X,Y)为0。此外，对于随机变量的线性组合，方差的计算公式为：$D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)$，其中a和b是常数。
步骤 2：应用方差的性质
由于X和Y相互独立，所以Cov(X,Y) = 0。因此，随机变量2X-3Y的方差可以简化为：$D(2X-3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) + 2\times2\times(-3)Cov(X,Y)$。
步骤 3：代入已知的方差值
已知D(X) = 2，D(Y) = 4，Cov(X,Y) = 0，代入上述公式得到：$D(2X-3Y) = 4\times2 + 9\times4 + 2\times2\times(-3)\times0 = 8 + 36 + 0 = 44$。
方差的性质之一是，对于两个随机变量X和Y，如果它们相互独立，则它们的协方差Cov(X,Y)为0。此外，对于随机变量的线性组合，方差的计算公式为：$D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)$，其中a和b是常数。
步骤 2：应用方差的性质
由于X和Y相互独立，所以Cov(X,Y) = 0。因此，随机变量2X-3Y的方差可以简化为：$D(2X-3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) + 2\times2\times(-3)Cov(X,Y)$。
步骤 3：代入已知的方差值
已知D(X) = 2，D(Y) = 4，Cov(X,Y) = 0，代入上述公式得到：$D(2X-3Y) = 4\times2 + 9\times4 + 2\times2\times(-3)\times0 = 8 + 36 + 0 = 44$。