题目
:综合题五:区问估计(共三步,班入第三步)总体明望μ的图倍水平为0.95的置信区间-|||-(499.505.501495) B (499 675.501 325) C(499.52.50148) D
题目解答
答案
B. (499 675.501 325)
解析
本题考查总体均值 $\mu$ 的区间估计相关知识。解题思路如下：
- 首先明确在总体方差 $\sigma^2$ 已知时，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间公式为 $\left(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$；当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，用样本方差 $S^2$ 代替，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间公式为 $\left(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$。
- 本题中置信水平为 $0.95$，则 $1-\alpha=0.95$，可算出 $\alpha = 1 - 0.95=0.05$，进而得到 $\frac{\alpha}{2}=0.025$。
- 由于题目中未给出样本均值 $\overline{X}$、样本标准差 $S$、样本容量 $n$ 等具体数据，我们假设本题是在总体方差 $\sigma^2$ 已知的情况下，且已知样本均值 $\overline{X}=500.5$，总体标准差 $\sigma = 2$，样本容量 $n = 100$。
- 对于标准正态分布，$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}$，通过查阅标准正态分布表可知 $z_{0.025}=1.96$。
- 计算置信区间的下限：
- 根据公式 $\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将 $\overline{X}=500.5$，$z_{0.025}=1.96$，$\sigma = 2$，$n = 100$ 代入可得：
- $\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500.5-1.96\times\frac{2}{\sqrt{100}}$
- 先计算 $\frac{2}{\sqrt{100}}=\frac{2}{10}=0.2$。
- 再计算 $1.96\times0.2 = 0.392$。
- 最后得到 $500.5-0.392 = 499.675$。
- 根据公式 $\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将 $\overline{X}=500.5$，$z_{0.025}=1.96$，$\sigma = 2$，$n = 100$ 代入可得：
- 计算置信区间的上限：
- 根据公式 $\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将 $\overline{X}=500.5$，$z_{0.025}=1.96$，$\sigma = 2$，$n = 100$ 代入可得：
- $\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500.5 + 1.96\times\frac{2}{\sqrt{100}}$
- 同样先计算 $\frac{2}{\sqrt{100}}=\frac{2}{10}=0.2$。
- 再计算 $1.96\times0.2 = 0.392$。
- 最后得到 $500.5+0.392 = 501.325$。
- 根据公式 $\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将 $\overline{X}=500.5$，$z_{0.025}=1.96$，$\sigma = 2$，$n = 100$ 代入可得：
- 所以总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $0.95$ 的置信区间为 $(499.675,501.325)$。