题目
5.设总体Xsim N(mu,sigma^2). sigma^2已知.问样本容量n至少为多少时，才能保证μ的置信水平为1-alpha的置信区间长度不大于d.
5.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$. $\sigma^{2}$已知.问样本容量n至少为多少时，才能保证μ的置信水平为1-$\alpha$的置信区间长度不大于d.
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为：
\[
\left[ \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]
\]
区间长度为：
\[
2 u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
令其不大于 $d$，解得：
\[
n \geq \left( \frac{2 u_{\frac{\alpha}{2}} \sigma}{d} \right)^2
\]
**答案：**
\[
\boxed{\left( \frac{2 u_{\frac{\alpha}{2}} \sigma}{d} \right)^2}
\]
解析
步骤 1：确定置信区间的表达式
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为： \[ \left[ \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为： \[ 2 u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
步骤 3：确定样本容量的最小值
令置信区间的长度不大于 $d$，即： \[ 2 u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq d \] 解得： \[ n \geq \left( \frac{2 u_{\frac{\alpha}{2}} \sigma}{d} \right)^2 \]
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为： \[ \left[ \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为： \[ 2 u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
步骤 3：确定样本容量的最小值
令置信区间的长度不大于 $d$，即： \[ 2 u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq d \] 解得： \[ n \geq \left( \frac{2 u_{\frac{\alpha}{2}} \sigma}{d} \right)^2 \]