题目
4.(1)设样本x1,x2,···,X6来自总体N(0,1), =(({X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3))}^2+-|||-(({X)_(4)+(X)_(5)+(X)_(6))}^2, 试确定常数C使CY 服从x^2分布.-|||-(2)设样本X1,X2,··,5来自总体N(0,1), =dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}({({{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2)}^1/2} 试确-|||-定常数C使Y服从t分布.-|||-(3)已知总体 approx t(n), 求证 ^2approx F(1,n),
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定CY服从x^2分布的条件
由于X1,X2,···,X6是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2+X3和X4+X5+X6都是正态分布的随机变量，且它们相互独立。根据x^2分布的定义，如果一个随机变量是标准正态分布的平方和，那么它服从x^2分布。因此，我们需要将Y转换成标准正态分布的平方和形式。
步骤 2：将Y转换成标准正态分布的平方和形式
由于X1+X2+X3和X4+X5+X6都是正态分布的随机变量，且它们的方差都是3，因此我们需要将它们除以根号3，使得它们变成标准正态分布的随机变量。因此，我们有：
$$\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$$
$$\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$$
因此，我们可以将Y写成：
$$Y = \left(\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2$$
这表明Y是两个独立的标准正态分布的平方和，因此它服从x^2分布。为了使CY服从x^2分布，我们需要将Y乘以一个常数C，使得CY的分布与Y的分布相同。因此，我们需要将Y乘以3，即C=1/3。
步骤 3：确定C使Y服从t分布的条件
由于X1,X2,···,X5是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2是正态分布的随机变量，且它的方差是2。因此，我们需要将它除以根号2，使得它变成标准正态分布的随机变量。因此，我们有：
$$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$$
由于X3,X4,X5是总体N(0,1)的样本，因此它们的平方和服从x^2分布。因此，我们可以将Y写成：
$$Y = \frac{C(X_1+X_2)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$$
这表明Y是标准正态分布的随机变量除以x^2分布的随机变量的平方根，因此它服从t分布。为了使Y服从t分布，我们需要将X1+X2乘以一个常数C，使得Y的分布与t分布相同。因此，我们需要将X1+X2乘以根号(3/2)，即C=根号(3/2)。
步骤 4：证明X^2服从F(1,n)分布
由于X~t(n)，因此X可以表示成：
$$X = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$$
其中，Y~x^2(n)，Z~N(0,1)，且Z与Y相互独立。因此，我们可以将X^2写成：
$$X^2 = \frac{Z^2}{Y/n}$$
这表明X^2是标准正态分布的平方除以x^2分布的随机变量的平方，因此它服从F(1,n)分布。
由于X1,X2,···,X6是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2+X3和X4+X5+X6都是正态分布的随机变量，且它们相互独立。根据x^2分布的定义，如果一个随机变量是标准正态分布的平方和，那么它服从x^2分布。因此，我们需要将Y转换成标准正态分布的平方和形式。
步骤 2：将Y转换成标准正态分布的平方和形式
由于X1+X2+X3和X4+X5+X6都是正态分布的随机变量，且它们的方差都是3，因此我们需要将它们除以根号3，使得它们变成标准正态分布的随机变量。因此，我们有：
$$\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$$
$$\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$$
因此，我们可以将Y写成：
$$Y = \left(\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2$$
这表明Y是两个独立的标准正态分布的平方和，因此它服从x^2分布。为了使CY服从x^2分布，我们需要将Y乘以一个常数C，使得CY的分布与Y的分布相同。因此，我们需要将Y乘以3，即C=1/3。
步骤 3：确定C使Y服从t分布的条件
由于X1,X2,···,X5是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2是正态分布的随机变量，且它的方差是2。因此，我们需要将它除以根号2，使得它变成标准正态分布的随机变量。因此，我们有：
$$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$$
由于X3,X4,X5是总体N(0,1)的样本，因此它们的平方和服从x^2分布。因此，我们可以将Y写成：
$$Y = \frac{C(X_1+X_2)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$$
这表明Y是标准正态分布的随机变量除以x^2分布的随机变量的平方根，因此它服从t分布。为了使Y服从t分布，我们需要将X1+X2乘以一个常数C，使得Y的分布与t分布相同。因此，我们需要将X1+X2乘以根号(3/2)，即C=根号(3/2)。
步骤 4：证明X^2服从F(1,n)分布
由于X~t(n)，因此X可以表示成：
$$X = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$$
其中，Y~x^2(n)，Z~N(0,1)，且Z与Y相互独立。因此，我们可以将X^2写成：
$$X^2 = \frac{Z^2}{Y/n}$$
这表明X^2是标准正态分布的平方除以x^2分布的随机变量的平方，因此它服从F(1,n)分布。