(4) lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^2x= __

步骤 1：将给定的极限表达式重写为指数形式
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{1+x})}^{2x}$。首先，我们将其重写为指数形式，以便于应用极限的性质。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{1+x})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln(\dfrac {x}{1+x})}$$
步骤 2：计算指数部分的极限
接下来，我们需要计算指数部分的极限，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{2x\ln(\dfrac {x}{1+x})}$。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{2x\ln(\dfrac {x}{1+x})} = \lim _{x\rightarrow \infty }{2x\ln(\dfrac {1}{1+\frac{1}{x}})}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }{2x\ln(\dfrac {1}{1+\frac{1}{x}})}$ 是一个不定型，我们可以应用洛必达法则。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{2x\ln(\dfrac {1}{1+\frac{1}{x}})} = \lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {2\ln(\dfrac {1}{1+\frac{1}{x}})}{\frac{1}{x}}}$$
应用洛必达法则，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {2\ln(\dfrac {1}{1+\frac{1}{x}})}{\frac{1}{x}}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {2\cdot \frac{-1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \frac{-1}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {2}{1+\frac{1}{x}}} = -2$$
步骤 4：计算最终的极限
最后，我们计算最终的极限，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln(\dfrac {x}{1+x})}$。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln(\dfrac {x}{1+x})} = {e}^{-2}$$