5.[单选题]群G到群H的同态核是群G的-|||-A 子群-|||-B 正规子群-|||-C 子环-|||-D 理想

考查要点：本题主要考查群同态核的性质，需要明确同态核在群中的结构类型。

解题核心思路：

1. 同态核的定义：群同态φ：G→H的核是所有被映射到H的单位元的元素组成的集合，即kerφ = {g∈G | φ(g)=e_H}。
2. 结构类型判断：需结合群同态的性质，分析核是否满足子群、正规子群等条件。
3. 关键结论：同态核一定是正规子群，因为同态映射保持运算结构，使得核在G中具有正规性。

破题关键点：

• 区分子群与正规子群：正规子群要求对任意G中元素g，有gNg^{-1}=N，这是同态核满足的条件。
• 排除干扰项：子环、理想属于环论概念，与群同态无关。

步骤1：回顾群同态核的定义
群同态φ：G→H的核为：
$\text{ker}\phi = \{ g \in G \mid \phi(g) = e_H \}$
其中，$e_H$是H的单位元。

步骤2：验证核是子群
根据子群判定定理，需验证：

1. 非空：$\phi(e_G) = e_H$，故$e_G \in \text{ker}\phi$。
2. 封闭性：若$a,b \in \text{ker}\phi$，则$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = e_He_H = e_H$，故$ab \in \text{ker}\phi$。
3. 逆元存在：若$a \in \text{ker}\phi$，则$\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1} = e_H^{-1} = e_H$，故$a^{-1} \in \text{ker}\phi$。
   因此，$\text{ker}\phi$是G的子群。

步骤3：证明核是正规子群
需验证对任意$g \in G$，有$g \cdot \text{ker}\phi \cdot g^{-1} = \text{ker}\phi$。
取任意$n \in \text{ker}\phi$，则：
$\phi(gng^{-1}) = \phi(g)\phi(n)\phi(g^{-1}) = \phi(g)e_H\phi(g^{-1}) = \phi(g)\phi(g^{-1}) = \phi(gg^{-1}) = \phi(e_G) = e_H$
因此，$gng^{-1} \in \text{ker}\phi$，说明$\text{ker}\phi$是正规子群。

结论：同态核既是子群，又是正规子群，故正确答案为B. 正规子群。