[3.5]设有甲、乙两种安眠药,随机变量X Y分别表示患者服用甲、乙药后睡眠时间的延长-|||-数,并假设 sim N((M)_(1),(sigma )^2) sim N((mu )_(2),(sigma )^2). 为比较两种药品的疗效,随机地从服用甲药的患者中选-|||-取10人,从服用乙药的患者中选取10人,分别测得睡眠延长时间的均值与方差: overline (X)=2.33 ({S)_(1)}^2=-|||-(1.9)^2; overline (Y)=0.75, ({S)_(2)}^2=((28.9))^2. 试求方差未知情况下 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%置信区间.

步骤 1：确定样本均值和方差
根据题目，我们有：
- 服用甲药的患者样本均值 $\overline{X} = 2.33$，样本方差 ${{S}_{1}}^{2} = (1.9)^2 = 3.61$
- 服用乙药的患者样本均值 $\overline{Y} = 0.75$，样本方差 ${{S}_{2}}^{2} = (28.9)^2 = 835.21$
- 样本量 ${n}_{1} = {n}_{2} = 10$

步骤 2：计算合并方差
由于两总体方差未知但相等，我们使用合并方差 $S_{p}^{2}$ 来估计总体方差：
$$
S_{p}^{2} = \frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2} + (n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} = \frac{9 \times 3.61 + 9 \times 835.21}{18} = \frac{32.49 + 7516.89}{18} = \frac{7549.38}{18} = 419.41
$$
步骤 3：计算置信区间
由于两总体方差未知但相等，且样本量较小，我们使用 t 分布来计算置信区间。置信水平为 95%，自由度为 $n_{1} + n_{2} - 2 = 18$，查 t 分布表得 $t_{0.025}(18) = 2.101$。置信区间的计算公式为：
$$
(\overline{X} - \overline{Y}) \pm t_{0.025}(18) \cdot S_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}
$$
代入数值计算：
$$
(2.33 - 0.75) \pm 2.101 \cdot \sqrt{419.41} \cdot \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}} = 1.58 \pm 2.101 \cdot 20.48 \cdot \sqrt{0.2} = 1.58 \pm 2.101 \cdot 20.48 \cdot 0.447 = 1.58 \pm 1.78
$$