题目

设总体服从正态分布N(mu,1)，且mu未知，设X_1,X_2,...,X_n为来自该总体的一个样本，记overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_i，S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2。则mu的置信水平为1-alpha的置信区间公式是 A. (overline(X)-t_((alpha)/(2))(n-1)(1)/(sqrt(n)),overline(X)+t_((alpha)/(2))(n-1)(1)/(sqrt(n)))B. (overline(X)-z_((alpha)/(2))(S)/(sqrt(n)),overline(X)+z_((alpha)/(2))(S)/(sqrt(n)))C. (overline(X)-z_((alpha)/(2))(1)/(sqrt(n)),overline(X)+z_((alpha)/(2))(1)/(sqrt(n)))D. (overline(X)-t_((alpha)/(2))(n-1)(S)/(sqrt(n)),overline(X)+t_((alpha)/(2))(n-1)(S)/(sqrt(n)))

设总体服从正态分布$N(\mu,1)$，且$\mu$未知，设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自该总体的一个样本，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$。则$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间公式是

  • A. $\left(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{1}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
  • B. $\left(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$
  • C. $\left(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{1}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
  • D. $\left(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

题目解答

答案

为了确定总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间，其中总体服从正态分布 $N(\mu, 1)$ 且方差已知，我们可以使用以下步骤：

  1. 确定样本均值的分布：
    由于总体服从正态分布 $N(\mu, 1)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{1}{n}$。即 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$。

  2. 标准化样本均值：
    为了使用标准正态分布表，我们需要将样本均值标准化。标准化后的变量为：
    $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \sqrt{n}(\overline{X} - \mu)$
    这个变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。

  3. 找到置信区间的临界值：
    对于置信水平为 $1-\alpha$，我们需要找到标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数 $z_{\frac{\alpha}{2}}$，使得：
    $P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha$
    这意味着：
    $P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \leq z_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha$

  4. 解不等式得到置信区间：
    将不等式两边除以 $\sqrt{n}$，我们得到：
    $P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \overline{X} - \mu \leq z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
    再将不等式两边加上 $\overline{X}$，我们得到：
    $P\left(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
    因此，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间是：
    $\left(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

根据以上步骤，正确答案是 $\boxed{C}$。

解析

本题考查正态总体均值的置信区间的的求解，解题的关键在于根据总体方差是否已知来选择合适的统计量，进而确定置信区间。

  • 确定样本均值的分布：**
    已知总体服从正态分布$N(\mu, 1)$，即总体均值为$\mu$，总体方差$\(\sigma^2 = 1$)已知。根据正态分布的性质，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}=\frac{1}{n}$，即$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$。
  • 标准化样本均值：
    为了使用标准正态分布表，我们需要将样本均值标准化。标准化的公式为$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，将$\sigma = 1$代入可得标准化后的变量为：
    $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \sqrt{n}(\overline{X} - \mu)$
    这个变量$Z\overline{X}$服从标准正态分布$N(0, 1)$。
  • 找到置信区间的临界值：
    对于置信水平为$1 - \alpha$，我们需要找到标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数$z_{\frac{\alpha}{2}}$，使得：
    $P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq Z \sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \leq z_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha$
  • 解不等式得到置信区间：
    将不等式$-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \leq z_{\frac{\alpha}{2}}$两边同时除以$\sqrt{n}$，得到：
    $-z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \overline{X} - \mu \leq z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}$
    再将不等式两边同时加上$\overline{X}$，得到：
    $P\left(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
    因此，总体均值$\mu$的置信水平为$1 - \alpha$的置信区间是$\left(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}}\right)$。