题目
20.炮击一目标的纵向偏差X(单位:m )服从N(0,20^2 ),求:-|||-(1)射击一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m的概率;-|||-(2)射击三发炮弹至少有一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
随机变量X表示炮击一目标的纵向偏差，服从正态分布N(0,20^2)，即均值μ=0，标准差σ=20。
步骤 2：计算纵向偏差绝对值不超过30m的概率
纵向偏差绝对值不超过30m的概率，即求P(|X|≤30)。由于X服从正态分布，可以转化为求P(-30≤X≤30)。利用标准正态分布表，将X标准化为Z=(X-μ)/σ，得到Z=(X-0)/20=X/20。因此，P(-30≤X≤30)=P(-30/20≤Z≤30/20)=P(-1.5≤Z≤1.5)。查标准正态分布表，得到P(Z≤1.5)=0.9332，P(Z≤-1.5)=0.0668。因此，P(-1.5≤Z≤1.5)=P(Z≤1.5)-P(Z≤-1.5)=0.9332-0.0668=0.8664。
步骤 3：计算射击三发炮弹至少有一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m的概率
设A表示“射击一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m”，则P(A)=0.8664。设B表示“射击三发炮弹至少有一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m”，则B的对立事件为“射击三发炮弹的纵向偏差绝对值都超过30m”，即P(B')=(1-P(A))^3=(1-0.8664)^3=0.0024。因此，P(B)=1-P(B')=1-0.0024=0.9976。
随机变量X表示炮击一目标的纵向偏差，服从正态分布N(0,20^2)，即均值μ=0，标准差σ=20。
步骤 2：计算纵向偏差绝对值不超过30m的概率
纵向偏差绝对值不超过30m的概率，即求P(|X|≤30)。由于X服从正态分布，可以转化为求P(-30≤X≤30)。利用标准正态分布表，将X标准化为Z=(X-μ)/σ，得到Z=(X-0)/20=X/20。因此，P(-30≤X≤30)=P(-30/20≤Z≤30/20)=P(-1.5≤Z≤1.5)。查标准正态分布表，得到P(Z≤1.5)=0.9332，P(Z≤-1.5)=0.0668。因此，P(-1.5≤Z≤1.5)=P(Z≤1.5)-P(Z≤-1.5)=0.9332-0.0668=0.8664。
步骤 3：计算射击三发炮弹至少有一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m的概率
设A表示“射击一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m”，则P(A)=0.8664。设B表示“射击三发炮弹至少有一发炮弹的纵向偏差绝对值不超过30m”，则B的对立事件为“射击三发炮弹的纵向偏差绝对值都超过30m”，即P(B')=(1-P(A))^3=(1-0.8664)^3=0.0024。因此，P(B)=1-P(B')=1-0.0024=0.9976。