设昆虫产 k 个卵的概率 p_k = (lambda^k)/(k!) e^-lambda，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为 p。若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有 L 条的概率是多少？
设昆虫产 $k$ 个卵的概率 $p_k = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为 $p$。若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有 $L$ 条的概率是多少？
题目解答
答案
我们来一步一步分析并解决这个问题。
题目解析
题目给出以下信息：
-
昆虫产 $k$ 个卵的概率服从 泊松分布，即：
$p_k = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
其中 $\lambda > 0$ 是产卵的平均数。 -
每个卵孵化成昆虫的概率是 $p$，且 卵的孵化是相互独立的。
-
问题：此昆虫的下一代有 $L$ 条的概率是多少？
理解问题
我们设：
- $K$：昆虫产的卵的数量，服从泊松分布 $K \sim \text{Poisson}(\lambda)$
- $L$：孵化出的昆虫数量，即孵化成功的卵的数量
由于每个卵独立地以概率 $p$ 孵化，所以给定产了 $k$ 个卵，孵化出 $L = l$ 的条件概率是：
$P(L = l \mid K = k) = \binom{k}{l} p^l (1 - p)^{k - l}, \quad \text{当 } l \le k$
求总体概率 $P(L = l)$
我们使用全概率公式：
$P(L = l) = \sum_{k=l}^{\infty} P(L = l \mid K = k) P(K = k)$
代入已知的条件概率和泊松分布的概率质量函数：
$P(L = l) = \sum_{k=l}^{\infty} \binom{k}{l} p^l (1 - p)^{k - l} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
化简表达式
我们来简化这个表达式：
首先，把 $\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ 写成 $\frac{(\lambda)^k}{k!} e^{-\lambda}$，然后提取出与 $l$ 有关的部分：
$P(L = l) = e^{-\lambda} \sum_{k=l}^{\infty} \binom{k}{l} p^l (1 - p)^{k - l} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}$
注意到 $\binom{k}{l} = \frac{k!}{l!(k - l)!}$，所以：
$\binom{k}{l} \cdot \frac{1}{k!} = \frac{1}{l! (k - l)!}$
代入：
$P(L = l) = e^{-\lambda} \sum_{k=l}^{\infty} \frac{1}{l! (k - l)!} p^l (1 - p)^{k - l} \lambda^k$
把 $p^l$ 提出来：
$P(L = l) = \frac{p^l}{l!} e^{-\lambda} \sum_{k=l}^{\infty} \frac{(1 - p)^{k - l} \lambda^k}{(k - l)!}$
令 $m = k - l$，则 $k = m + l$，当 $k = l$ 时 $m = 0$，所以：
$P(L = l) = \frac{p^l}{l!} e^{-\lambda} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(1 - p)^m \lambda^{m + l}}{m!}$
$= \frac{p^l}{l!} e^{-\lambda} \lambda^l \sum_{m=0}^{\infty} \frac{((1 - p)\lambda)^m}{m!}$
注意到 $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{((1 - p)\lambda)^m}{m!} = e^{(1 - p)\lambda}$
所以：
$P(L = l) = \frac{p^l}{l!} e^{-\lambda} \lambda^l e^{(1 - p)\lambda} = \frac{p^l}{l!} \lambda^l e^{-\lambda p}$
$= \frac{(\lambda p)^l}{l!} e^{-\lambda p}$
结论
$\boxed{P(L = l) = \frac{(\lambda p)^l}{l!} e^{-\lambda p}}$
解释
这个结果说明：孵化出的昆虫数量 $L$ 服从参数为 $\lambda p$ 的泊松分布。
这是因为：
- 原始的卵数 $K \sim \text{Poisson}(\lambda)$
- 每个卵以概率 $p$ 独立孵化，相当于对泊松过程进行“稀疏”处理
- 最终孵化出的昆虫数量服从 $\text{Poisson}(\lambda p)$
✅ 最终答案：
$\boxed{P(L = l) = \frac{(\lambda p)^l}{l!} e^{-\lambda p}}$
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布与二项分布的复合分布，以及全概率公式的应用。关键在于理解产卵数服从泊松分布，而每个卵独立孵化的条件下，下一代昆虫数量的分布推导。
解题核心思路：
- 条件概率分析：给定产卵数$K=k$，孵化数$L=l$服从二项分布$B(k,p)$。
- 全概率公式：将$L=l$的无条件概率表示为对$K=k$的全概率求和。
- 求和化简：通过变量替换和指数级数展开，将求和转化为指数函数形式，最终得到$L$的分布。
破题关键点：
- 识别复合分布结构：产卵数$K$的泊松分布与孵化概率$p$的独立性结合。
- 求和技巧：利用$\sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!} = e^x$简化表达式。
设昆虫产卵数为$K$，服从泊松分布$K \sim \text{Poisson}(\lambda)$，即：
$P(K=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots$
每个卵独立孵化的概率为$p$，则给定$K=k$时，孵化数$L=l$的条件概率为二项分布：
$P(L=l \mid K=k) = \binom{k}{l} p^l (1-p)^{k-l}, \quad 0 \le l \le k$
全概率公式：
$P(L=l) = \sum_{k=l}^\infty P(L=l \mid K=k) P(K=k)$
代入表达式：
$P(L=l) = \sum_{k=l}^\infty \binom{k}{l} p^l (1-p)^{k-l} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
化简步骤：
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组合数与阶乘简化：
$\binom{k}{l} = \frac{k!}{l!(k-l)!}$，代入后得：
$P(L=l) = e^{-\lambda} \sum_{k=l}^\infty \frac{p^l (1-p)^{k-l} \lambda^k}{l!(k-l)!}$ -
变量替换：令$m = k-l$，则$k = m+l$，求和下限变为$m=0$：
$P(L=l) = \frac{p^l}{l!} e^{-\lambda} \sum_{m=0}^\infty \frac{(1-p)^m \lambda^{m+l}}{m!}$ -
提取公因子：$\lambda^l$可提出，剩余部分为指数级数：
$\sum_{m=0}^\infty \frac{[(1-p)\lambda]^m}{m!} = e^{(1-p)\lambda}$ -
最终化简：
$P(L=l) = \frac{(\lambda p)^l}{l!} e^{-\lambda p}$
结论：
$L$服从参数为$\lambda p$的泊松分布，即：
$\boxed{P(L=l) = \frac{(\lambda p)^l}{l!} e^{-\lambda p}}$