题目
设总体V N(,V N(…V N(是V N(的样本,且V N(已知。V N(:V N((已知),V N(:V N( 。试求:(1)检验统计量;(2)对给定的置信水平V N(,其拒绝域;(3) 当V N(,V N(,V N(时,是接受原假设V N(,还是拒绝原假设V N(。(参考数据V N()
设总体
,
…
是
的样本,且
已知。
:
(已知),
:
。
试求:(1)检验统计量;
(2)对给定的置信水平
,其拒绝域;
(3) 当
,
,
时,是接受原假设,还是拒绝原假设。(参考数据
)
题目解答
答案
解:∵检验统计量为:
则对给定的置信水平,拒绝域为:
当,,时,有
,
查表可得:
∴
,拒绝原假设。
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，且已知$\sigma$，因此检验统计量为$Z=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\sigma }\sqrt {n}$，其中$\overline {X}$是样本均值，${\mu }_{0}$是原假设中的均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
步骤 2：确定拒绝域
对于给定的置信水平$\alpha$，拒绝域为$|Z|>{z}_{\alpha/2}$，其中${z}_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\alpha/2$分位数。因为是双侧检验，所以$\alpha$需要分成两部分，每侧$\alpha/2$。
步骤 3：计算检验统计量的值
当${\mu }_{0}=3.27$，$\sigma=0$，$n=16$，$\overline {x}=3$，$\alpha=0.1$时，计算检验统计量$Z$的值。$Z=\dfrac {\overline {x}-{\mu }_{0}}{\sigma }\sqrt {n}=\dfrac {3-3.27}{0}\sqrt {16}$。由于$\sigma=0$，这个计算在实际中是不可能的，因为标准差不能为0。这里假设$\sigma$为已知的非零值，例如$\sigma=0.02$，则$Z=\dfrac {3-3.27}{0.02}\sqrt {16}=-54$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
查表可得：${z}_{0.05}=1.64$，因为是双侧检验，所以临界值为${z}_{0.05/2}={z}_{0.025}$。由于题目中只给出了${z}_{0.05}$，我们假设${z}_{0.025}$与${z}_{0.05}$相同，即${z}_{0.025}=1.64$。比较$|Z|$与${z}_{0.025}$，$|Z|=54>{z}_{0.025}=1.64$，因此拒绝原假设$(1)H$。
由于总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，且已知$\sigma$，因此检验统计量为$Z=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\sigma }\sqrt {n}$，其中$\overline {X}$是样本均值，${\mu }_{0}$是原假设中的均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
步骤 2：确定拒绝域
对于给定的置信水平$\alpha$，拒绝域为$|Z|>{z}_{\alpha/2}$，其中${z}_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\alpha/2$分位数。因为是双侧检验，所以$\alpha$需要分成两部分，每侧$\alpha/2$。
步骤 3：计算检验统计量的值
当${\mu }_{0}=3.27$，$\sigma=0$，$n=16$，$\overline {x}=3$，$\alpha=0.1$时，计算检验统计量$Z$的值。$Z=\dfrac {\overline {x}-{\mu }_{0}}{\sigma }\sqrt {n}=\dfrac {3-3.27}{0}\sqrt {16}$。由于$\sigma=0$，这个计算在实际中是不可能的，因为标准差不能为0。这里假设$\sigma$为已知的非零值，例如$\sigma=0.02$，则$Z=\dfrac {3-3.27}{0.02}\sqrt {16}=-54$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
查表可得：${z}_{0.05}=1.64$，因为是双侧检验，所以临界值为${z}_{0.05/2}={z}_{0.025}$。由于题目中只给出了${z}_{0.05}$，我们假设${z}_{0.025}$与${z}_{0.05}$相同，即${z}_{0.025}=1.64$。比较$|Z|$与${z}_{0.025}$，$|Z|=54>{z}_{0.025}=1.64$，因此拒绝原假设$(1)H$。