题目
9.设x1,x2是来自N (0,σ^2)的样本,试求 =((dfrac {{x)_(1)+(x)_(2)}({x)_(1)-(x)_(2)})}^2 的分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定x1和x2的分布
x1和x2是来自N(0,σ^2)的样本，即x1和x2分别服从均值为0，方差为σ^2的正态分布。
步骤 2：计算x1+x2和x1-x2的分布
由于x1和x2是独立的，且都服从正态分布，因此x1+x2和x1-x2也服从正态分布。具体来说，x1+x2服从N(0,2σ^2)，x1-x2也服从N(0,2σ^2)。
步骤 3：确定x1+x2和x1-x2的独立性
由于x1和x2是独立的，且x1+x2和x1-x2是线性组合，因此x1+x2和x1-x2也是独立的。
步骤 4：计算Y的分布
根据F分布的定义，如果X和Y是独立的，且X服从卡方分布χ^2(n)，Y服从卡方分布χ^2(m)，则Z = (X/n)/(Y/m)服从F分布F(n,m)。这里，x1+x2和x1-x2都是正态分布，因此它们的平方分别服从卡方分布χ^2(1)。因此，Y = ((x1+x2)^2/(x1-x2)^2) = (χ^2(1)/χ^2(1))，即Y服从F(1,1)分布。
x1和x2是来自N(0,σ^2)的样本，即x1和x2分别服从均值为0，方差为σ^2的正态分布。
步骤 2：计算x1+x2和x1-x2的分布
由于x1和x2是独立的，且都服从正态分布，因此x1+x2和x1-x2也服从正态分布。具体来说，x1+x2服从N(0,2σ^2)，x1-x2也服从N(0,2σ^2)。
步骤 3：确定x1+x2和x1-x2的独立性
由于x1和x2是独立的，且x1+x2和x1-x2是线性组合，因此x1+x2和x1-x2也是独立的。
步骤 4：计算Y的分布
根据F分布的定义，如果X和Y是独立的，且X服从卡方分布χ^2(n)，Y服从卡方分布χ^2(m)，则Z = (X/n)/(Y/m)服从F分布F(n,m)。这里，x1+x2和x1-x2都是正态分布，因此它们的平方分别服从卡方分布χ^2(1)。因此，Y = ((x1+x2)^2/(x1-x2)^2) = (χ^2(1)/χ^2(1))，即Y服从F(1,1)分布。