题目
3.已知|X1,x2 ,L,Xso为来自总体x:N(2,4) 4)的样本,记 overline (X)=dfrac (1)(50)sum _(i=1)^50(X)_(i) 则-|||-dfrac (1)(4)sum _(i=1)^50(({X)_(i)-overline (X))}^2 服从分布为 () (2分)-|||-A. (2,dfrac (4)(50))-|||-B. (dfrac (2)(50),4)-|||-C. x ^2(50)-|||-D. x ^2(49)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值和样本方差的定义
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{49} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$。
步骤 2：计算样本方差的分布
由于 $X_i \sim N(2, 4)$，则 $\sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 服从 $\chi^2(49)$ 分布，因为样本方差的自由度为 $n-1$，即 $50-1=49$。
步骤 3：计算 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 的分布
由于 $\sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 服从 $\chi^2(49)$ 分布，所以 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 也服从 $\chi^2(49)$ 分布，因为 $\chi^2$ 分布的尺度参数不影响其自由度。
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{49} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$。
步骤 2：计算样本方差的分布
由于 $X_i \sim N(2, 4)$，则 $\sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 服从 $\chi^2(49)$ 分布，因为样本方差的自由度为 $n-1$，即 $50-1=49$。
步骤 3：计算 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 的分布
由于 $\sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 服从 $\chi^2(49)$ 分布，所以 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 也服从 $\chi^2(49)$ 分布，因为 $\chi^2$ 分布的尺度参数不影响其自由度。