题目
某车间生产某种规格的钢筋的强度近似服从正态分布(mu ,(8)^2)，某日随机抽取10根检验其强度，计算得样本方差(mu ,(8)^2)，是否可以认为该车间生产的钢筋的强度方差显著增大?(mu ,(8)^2)
某车间生产某种规格的钢筋的强度近似服从正态分布
，某日随机抽取10根检验其强度，计算得样本方差
，是否可以认为该车间生产的钢筋的强度方差显著增大?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义原假设和备择假设
原假设 ${H}_{0}:{\sigma }^{2}={8}^{2}$，即认为钢筋强度方差没有显著增大。
备择假设 ${H}_{1}:{\sigma }^{2}\gt {8}^{2}$，即认为钢筋强度方差显著增大。
步骤 2：计算卡方统计量
已知 $n=10$，${S}^{2}=75.73$，${\sigma }^{2}={8}^{2}$。
根据公式 ${x}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$，可得
${x}^{2}=\dfrac {(10-1)\times 75.73}{{8}^{2}}$。
先计算分子 $(10-1)\times 75.73=9\times 75.73=681.57$。
再计算 ${x}^{2}=\dfrac {681.57}{64}\approx 10.65$。
步骤 3：确定临界值并做出判断
对于自由度 $df=n-1=10-1=9$，$\alpha =0.05$ 的右侧卡方检验。
查卡方分布表可得 ${{x}_{0.05}}^{2}(9)=16.919$。
因为 ${x}^{2}=10.65\lt {x}^{2}_{0.05}(9)=16.919$。
所以不拒绝原假设。
原假设 ${H}_{0}:{\sigma }^{2}={8}^{2}$，即认为钢筋强度方差没有显著增大。
备择假设 ${H}_{1}:{\sigma }^{2}\gt {8}^{2}$，即认为钢筋强度方差显著增大。
步骤 2：计算卡方统计量
已知 $n=10$，${S}^{2}=75.73$，${\sigma }^{2}={8}^{2}$。
根据公式 ${x}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$，可得
${x}^{2}=\dfrac {(10-1)\times 75.73}{{8}^{2}}$。
先计算分子 $(10-1)\times 75.73=9\times 75.73=681.57$。
再计算 ${x}^{2}=\dfrac {681.57}{64}\approx 10.65$。
步骤 3：确定临界值并做出判断
对于自由度 $df=n-1=10-1=9$，$\alpha =0.05$ 的右侧卡方检验。
查卡方分布表可得 ${{x}_{0.05}}^{2}(9)=16.919$。
因为 ${x}^{2}=10.65\lt {x}^{2}_{0.05}(9)=16.919$。
所以不拒绝原假设。