题目
某车间生产某种规格的钢筋的强度近似服从正态分布(mu ,(8)^2)，某日随机抽取10根检验其强度，计算得样本方差(mu ,(8)^2)，是否可以认为该车间生产的钢筋的强度方差显著增大?(mu ,(8)^2)
某车间生产某种规格的钢筋的强度近似服从正态分布
，某日随机抽取10根检验其强度，计算得样本方差
，是否可以认为该车间生产的钢筋的强度方差显著增大?
题目解答
答案
8^{2}，即认为钢筋强度方差显著增大。 \\&计算卡方统计量 \\&已知n = 10，S^{2}=75.73，\sigma^{2}=8^{2}。 \\&根据公式\chi^{2}=\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}，可得\chi^{2}=\frac{(10 - 1)\times75.73}{8^{2}} \\&先计算分子(10 - 1)\times75.73=9\times75.73 = 681.57。 \\&再计算\chi^{2}=\frac{681.57}{64}\approx10.65。 \\&3. 确定临界值并做出判断 \\&对于自由度df=n - 1=10 - 1 = 9，\alpha = 0.05的右侧卡\\&方检验。 \\&查卡方分布表可得\chi_{0.05}^{2}(9)=16.919。 \\&因为\chi^{2}=10.65<\chi_{0.05}^{2}(9)=16.919。 \\&所以不拒绝原假设。 \\&综上不可以认为该车间生产的钢筋的强度方差显著增大。 \end{aligned}" data-width="493" data-height="523" data-size="76672" data-format="png" style="">
解析
步骤 1：定义原假设和备择假设
原假设 ${H}_{0}:{\sigma }^{2}={8}^{2}$，即认为钢筋强度方差没有显著增大。
备择假设 ${H}_{1}:{\sigma }^{2}\gt {8}^{2}$，即认为钢筋强度方差显著增大。
步骤 2：计算卡方统计量
已知 $n=10$，${S}^{2}=75.73$，${\sigma }^{2}={8}^{2}$。
根据公式 ${x}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$，可得
${x}^{2}=\dfrac {(10-1)\times 75.73}{{8}^{2}}$。
先计算分子 $(10-1)\times 75.73=9\times 75.73=681.57$。
再计算 ${x}^{2}=\dfrac {681.57}{64}\approx 10.65$。
步骤 3：确定临界值并做出判断
对于自由度 $df=n-1=10-1=9$，$\alpha =0.05$ 的右侧卡方检验。
查卡方分布表可得 ${{x}_{0.05}}^{2}(9)=16.919$。
因为 ${x}^{2}=10.65\lt {x}^{2}_{0.05}(9)=16.919$。
所以不拒绝原假设。
原假设 ${H}_{0}:{\sigma }^{2}={8}^{2}$，即认为钢筋强度方差没有显著增大。
备择假设 ${H}_{1}:{\sigma }^{2}\gt {8}^{2}$，即认为钢筋强度方差显著增大。
步骤 2：计算卡方统计量
已知 $n=10$，${S}^{2}=75.73$，${\sigma }^{2}={8}^{2}$。
根据公式 ${x}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$，可得
${x}^{2}=\dfrac {(10-1)\times 75.73}{{8}^{2}}$。
先计算分子 $(10-1)\times 75.73=9\times 75.73=681.57$。
再计算 ${x}^{2}=\dfrac {681.57}{64}\approx 10.65$。
步骤 3：确定临界值并做出判断
对于自由度 $df=n-1=10-1=9$，$\alpha =0.05$ 的右侧卡方检验。
查卡方分布表可得 ${{x}_{0.05}}^{2}(9)=16.919$。
因为 ${x}^{2}=10.65\lt {x}^{2}_{0.05}(9)=16.919$。
所以不拒绝原假设。