题目
(2007年)设总体X的概率密度为f(x)= ) (theta +1)(x)^theta ,0lt xlt 1 0, .A. B. C. D.
(2007年)设总体X的概率密度为
其中θ＞-1是未知参数，X1，X2，…，XN是来自总体X的样本，则θ的矩估计量是( )。
A.
B.
C.
D.
其中θ＞-1是未知参数，X1，X2，…，XN是来自总体X的样本，则θ的矩估计量是( )。A. B.
C.
D.
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
根据概率密度函数f(x) = $(\theta + 1)x^{\theta}$，计算总体X的期望值E(X)。
\[ E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (\theta + 1)x^{\theta} dx = (\theta + 1) \int_{0}^{1} x^{\theta + 1} dx \]
\[ = (\theta + 1) \left[ \frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2} \right]_{0}^{1} = \frac{\theta + 1}{\theta + 2} \]
步骤 2：建立矩估计方程
根据矩估计法，总体的期望值E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即：
\[ \frac{\theta + 1}{\theta + 2} = \overline{X} \]
步骤 3：求解θ的矩估计量
解上述方程，得到θ的矩估计量$\hat{\theta}$。
\[ \frac{\theta + 1}{\theta + 2} = \overline{X} \]
\[ \theta + 1 = \overline{X}(\theta + 2) \]
\[ \theta + 1 = \overline{X}\theta + 2\overline{X} \]
\[ \theta - \overline{X}\theta = 2\overline{X} - 1 \]
\[ \theta(1 - \overline{X}) = 2\overline{X} - 1 \]
\[ \hat{\theta} = \frac{2\overline{X} - 1}{1 - \overline{X}} \]
根据概率密度函数f(x) = $(\theta + 1)x^{\theta}$，计算总体X的期望值E(X)。
\[ E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (\theta + 1)x^{\theta} dx = (\theta + 1) \int_{0}^{1} x^{\theta + 1} dx \]
\[ = (\theta + 1) \left[ \frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2} \right]_{0}^{1} = \frac{\theta + 1}{\theta + 2} \]
步骤 2：建立矩估计方程
根据矩估计法，总体的期望值E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即：
\[ \frac{\theta + 1}{\theta + 2} = \overline{X} \]
步骤 3：求解θ的矩估计量
解上述方程，得到θ的矩估计量$\hat{\theta}$。
\[ \frac{\theta + 1}{\theta + 2} = \overline{X} \]
\[ \theta + 1 = \overline{X}(\theta + 2) \]
\[ \theta + 1 = \overline{X}\theta + 2\overline{X} \]
\[ \theta - \overline{X}\theta = 2\overline{X} - 1 \]
\[ \theta(1 - \overline{X}) = 2\overline{X} - 1 \]
\[ \hat{\theta} = \frac{2\overline{X} - 1}{1 - \overline{X}} \]