题目

17.设x_(1),x_(2),...,x_(n),x_(n+1)是来自N(mu,sigma^2)的样本，又设overline(x)_(n)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i), s_(n)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(x_(i)-overline(x)_(n))^2,试求常数c，使得t_(c)=c(x_(n+1)-overline(x)_(n))/s_(n)服从t分布，并指出其自由度。

17.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},x_{n+1}$是来自$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，又设$\overline{x}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i},$ $s_{n}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x}_{n})^{2},$试求常数c，使得$t_{c}=c(x_{n+1}-\overline{x}_{n})/s_{n}$服从t分布，并指出其自由度。

题目解答

答案

已知 $ x_{n+1} $ 和 $ \overline{x}_n $ 均来自正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，且 $ \overline{x}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) $。差值 $ x_{n+1} - \overline{x}_n $ 服从 $ N\left(0, \sigma^2 \frac{n+1}{n}\right) $。标准化得： \[ \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim N(0, 1). \] 样本方差 $ s_n^2 $ 满足： \[ \frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1). \] 构造 t 统计量： \[ t = \frac{\frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}}{\sqrt{\frac{s_n^2}{\sigma^2}}} = \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim t(n-1). \] 令 $ t_c = c \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n} $，则 \[ c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}. \] **答案：** \[ \boxed{c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}, \text{自由度为 } n-1} \]

解析

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件，涉及正态分布的线性组合、样本方差的卡方分布性质，以及独立性判断。

解题核心思路：

标准化差值：将$x_{n+1} - \overline{x}_n$标准化为标准正态变量。
构造卡方变量：利用样本方差$s_n^2$构造卡方分布。
组合t统计量：将标准化正态变量与卡方变量组合，满足t分布的定义。

破题关键点：

独立性：$x_{n+1}$与前$n$个样本独立，故$x_{n+1}$与$\overline{x}_n$、$s_n^2$均独立。
方差计算：差值$x_{n+1} - \overline{x}_n$的方差需正确计算。
标准化系数：通过对比t分布的结构，确定常数$c$的值。

步骤1：分析差值的分布

$x_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\overline{x}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，且$x_{n+1}$与$\overline{x}_n$独立。因此：
$x_{n+1} - \overline{x}_n \sim N\left(0, \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(0, \sigma^2 \cdot \frac{n+1}{n}\right).$

步骤2：标准化差值

标准化后：
$\frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim N(0, 1).$

步骤3：构造卡方变量

样本方差$s_n^2$满足：
$\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$

步骤4：构造t统计量

将标准化正态变量与卡方变量组合：
$t = \frac{\frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}}{\sqrt{\frac{s_n^2}{\sigma^2}}} = \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim t(n-1).$

步骤5：确定常数$c$

题目中$t_c = c \cdot \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n}$，对比得：
$c \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}} = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}.$