题目
7.已知每桶奶粉净重X（克）服从正态分布N(μ,5²)，从一批桶装奶粉中随机抽取15桶，经过测量得到它们的平均净重为446（克），试以0.95的置信度，求每桶奶粉平均净重μ的置信区间。
7.已知每桶奶粉净重X（克）服从正态分布N(μ,5²)，从一批桶装奶粉中随机抽取15桶，经过测量得到它们的平均净重为446（克），试以0.95的置信度，求每桶奶粉平均净重μ的置信区间。
题目解答
答案
已知条件：
- 总体 $X \sim N(\mu, 5^2)$，即 $\sigma_0 = 5$
- 样本容量 $n = 15$，样本均值 $\overline{x} = 446$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应双侧分位数 $\lambda = 1.96$
置信区间公式：
\[
\left( \overline{x} - \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}}, \overline{x} + \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}} \right)
\]
计算：
\[
\frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}} = \frac{1.96 \times 5}{\sqrt{15}} \approx 2.5
\]
置信区间：
\[
\left( 446 - 2.5, 446 + 2.5 \right) = (443.5, 448.5)
\]
**答案：**
\[
\boxed{(443.5, 448.5)}
\]
解析
步骤 1：确定已知条件
- 总体 $X \sim N(\mu, 5^2)$，即 $\sigma_0 = 5$
- 样本容量 $n = 15$，样本均值 $\overline{x} = 446$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应双侧分位数 $\lambda = 1.96$
步骤 2：计算置信区间的半宽
- 置信区间公式： \[ \left( \overline{x} - \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}}, \overline{x} + \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}} \right) \]
- 计算半宽： \[ \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}} = \frac{1.96 \times 5}{\sqrt{15}} \approx 2.5 \]
步骤 3：确定置信区间
- 置信区间： \[ \left( 446 - 2.5, 446 + 2.5 \right) = (443.5, 448.5) \]
- 总体 $X \sim N(\mu, 5^2)$，即 $\sigma_0 = 5$
- 样本容量 $n = 15$，样本均值 $\overline{x} = 446$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应双侧分位数 $\lambda = 1.96$
步骤 2：计算置信区间的半宽
- 置信区间公式： \[ \left( \overline{x} - \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}}, \overline{x} + \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}} \right) \]
- 计算半宽： \[ \frac{\lambda \sigma_0}{\sqrt{n}} = \frac{1.96 \times 5}{\sqrt{15}} \approx 2.5 \]
步骤 3：确定置信区间
- 置信区间： \[ \left( 446 - 2.5, 446 + 2.5 \right) = (443.5, 448.5) \]