17.简答题1.(10分)求以u=3y²-3x²为实部的解析函数f(z)使得f(0)=-2i。

本题考查解析函数的相关知识，解题思路是先根据柯西 - 黎曼方程求出虚部 $v(x,y)$ 的表达式，再结合给定的条件 $f(0)= - 2i$ 确定常数 $C$ 的值，最后将实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$ 组合成解析函数 $f(z)$，并将其化为关于 $z$ 的表达式。

1. 根据柯西 - 黎曼方程求$\frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial v}{\partial x}$：
   已知解析函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中 $u(x,y) = 3y^2 - 3x^2$。
   根据柯西 - 黎曼方程方程$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
   • 先对 $u(x,y)$ 求关于 $x$ 的偏导数：
     根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial(3y^2 - 3x^2)}{\partial x}=-6x$，所以$\frac{\partial v}{\partial y}=-6x$。
   • 再对 $u(x,y)$ 求关于 $y$ 的偏导数：
     同理可得$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial(3y^2 - 3x^2)}{\partial y}=6y$，所以$\frac{\partial v}{\partial x}=-6y$。
2. 对$\frac{\partial v}{\partial y}$积分求$v(x,y)$：
   对$\frac{\partial v}{\partial y}=-6x$关于 $y$ 积分，可得：
   $v(x,y)=\int - 6xdy=-6xy + C$，其中 $C$ 为常数。
3. 根据条件$f(0)= - 2i$确定常数$C$的值：
   已知$f(0)=u(0,0)+iv(0,0)= - 2i$。
   将 $x = 0$，$y = 0$ 代入 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 可得：
   $u(0,0)=3\times0^2 - 3\times0^2 = 0$，$v(0,0)=-6\times0\times0 + C = C$。
   所以$u(0,0)+iv(0,0)=0 + iC=-2i$，解得 $C = - 2$。
   则$v(x,y)=-6xy - 2$。
4. 得到解析函数$f(z)$并化为关于$z$的表达式：
   $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(3y^2 - 3x^2)+i(-6xy - 2)$。
   因为$z=x + iy$，$z^2=(x + iy)^2=x^2 + 2ixy + (iy)^2=x^2 - y^2 + 2ixy$，所以$-3z^2=-3(x^2 - y^2 + 2ixy)=3y^2 - 3x^2 - 6ixy$。
   则$f(z)=3y^2 - 3x^2 - 6ixy - 2i=-3z^2 - 2i$。