题目

设随机变量X与Y的联合分布律为X/Y 1 2 3-|||-1 1/9 2/9 2/9-|||-2 0 dfrac (1)(9) dfrac (2)(9)-|||-3 0 0 dfrac (1)(9)，求：（1）X和Y的边缘分布律；（2）X/Y 1 2 3-|||-1 1/9 2/9 2/9-|||-2 0 dfrac (1)(9) dfrac (2)(9)-|||-3 0 0 dfrac (1)(9)；（3）X/Y 1 2 3-|||-1 1/9 2/9 2/9-|||-2 0 dfrac (1)(9) dfrac (2)(9)-|||-3 0 0 dfrac (1)(9)和X/Y 1 2 3-|||-1 1/9 2/9 2/9-|||-2 0 dfrac (1)(9) dfrac (2)(9)-|||-3 0 0 dfrac (1)(9)；（4）X和Y的协方差；（5）判断X与Y是否相互独立。

设随机变量X与Y的联合分布律为 $\begin{pmatrix} X/Y&1&2&3 \newline 1&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}\newline 2&0&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\newline 3&0&0&\frac{1}{9} \end{pmatrix}$ ，求：

（1）X和Y的边缘分布律；（2） $P(X=Y)$ ；（3） $E\left(X\right)$ 和 $E\left(Y\right)$ ；（4）X和Y的协方差；

（5）判断X与Y是否相互独立。

题目解答

答案

（1）X的边缘分布律为 $P\left(X=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=3\right)$ $=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9}$ ， $P\left(X=2\right)=P\left(X=2,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=3\right)$ $=0+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$ ， $P\left(X=3\right)=P\left(X=3,Y=1\right)+P\left(X=3,Y=2\right)+P\left(X=3,Y=3\right)$ $=0+0+\frac{1}{9}=\frac{1}{9}$ ，即 $\begin{pmatrix} X&1&2&3 \newline P&\frac{5}{9}&\frac{1}{3}&\frac{1}{9} \end{pmatrix}$ ，Y的边缘分布律为 $P\left(Y=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=1\right)+P\left(X=3,Y=1\right)$ $=\frac{1}{9}+0+0=\frac{1}{9}$ ， $P\left(Y=2\right)=P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=2\right)+P\left(X=3,Y=2\right)$ $=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}+0=\frac{1}{3}$ ， $P\left(Y=3\right)=P\left(X=1,Y=3\right)+P\left(X=2,Y=3\right)+P\left(X=3,Y=3\right)$ $=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$ ，即 $\begin{pmatrix} Y&1&2&3 \newline P&\frac{1}{9}&\frac{1}{3}&\frac{5}{9} \end{pmatrix}$ ；（2） $P(X=Y)=P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)+P\left(X=3,Y=3\right)$ $=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$ ；

（3）X的数学期望为 $E\left(X\right)=1\times P\left(X=1\right)+2\times P\left(X=2\right)+3\times P\left(X=3\right)$ $=1\times\frac{5}{9}+2\times\frac{1}{3}+3\times\frac{1}{9}=\frac{14}{9}$ ，

Y的数学期望为 $E\left(Y\right)=1\times P\left(Y=1\right)+2\times P\left(Y=2\right)+3\times P\left(Y=3\right)$ $=1\times\frac{1}{9}+2\times\frac{1}{3}+3\times\frac{5}{9}=\frac{22}{9}$ ；

（4）XY的分布律为 $P\left(XY=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)=\frac{1}{9}$ ， $P\left(XY=2\right)=P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=\frac{2}{9}+0=\frac{2}{9}$ ， $P\left(XY=3\right)=P\left(X=1,Y=3\right)+P\left(X=3,Y=1\right)$ $=\frac{2}{9}+0=\frac{2}{9}$ ， $P\left(XY=4\right)=P\left(X=2,Y=2\right)=\frac{1}{9}$ ， $P\left(XY=6\right)=P\left(X=2,Y=3\right)+P\left(X=3,Y=2\right)$ $=\frac{2}{9}+0=\frac{2}{9}$ ， $P\left(XY=9\right)=P\left(X=3,Y=3\right)=\frac{1}{9}$ ，则 $E\left(XY\right)=1\times P\left(XY=1\right)+2\times P\left(XY=2\right)+3\times P\left(XY=3\right)$ $+4\times P\left(XY=4\right)+6\times P\left(XY=6\right)+9\times P\left(XY=9\right)$ $=1\times\frac{1}{9}+2\times\frac{2}{9}+3\times\frac{2}{9}+4\times\frac{1}{9}+6\times\frac{2}{9}+9\times\frac{1}{9}=4$ ，则X和Y的协方差为 $Cov\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ $=4-\frac{14}{9}\times\frac{22}{9}=\frac{16}{81}$ ；

（5） $P\left(X=2\right)P\left(Y=1\right)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{27}\ne P\left(X=2,Y=1\right)$ ，即X与Y边缘概率的乘积不等于联合概率，则X与Y不相互独立。