题目

如图，点A、B、C、D在⊙O上，overparen (CB)=overparen (CD)，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝(　　) overparen (CB)=overparen (CD)A．30° B．50° C．70° D．80°

如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝(　　)

A．30° B．50° C．70° D．80°

题目解答

答案

【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．

【答案】解：∵，∠CAD＝30°，

∴∠CAD＝∠CAB＝30°，

∴∠DBC＝∠DAC＝30°，

∵∠ACD＝50°，

∴∠ABD＝50°，

∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．

解析

本题考查圆周角定理以及三角形内角和定理的应用。解题的关键在于利用圆周角定理找出相等的角，再结合三角形内角和定理求出$\angle ADB$的度数。

  1. 根据圆周角定理求$\angle CAB$的度数：
    • 已知$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。
    • 因为$\angle CAD$和$\angle CAB$分别是$\overset{\frown}{CD}$和$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角，所以$\angle CAD = \angle CAB$。
    • 又已知$\angle CAD = 30^{\circ}$，所以$\angle CAB = 30^{\circ}$。
  2. 根据圆周角定理求$\angle DBC$的度数：
    • 因为$\angle DBC$和$\angle DAC$都是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，根据圆周角定理可得$\angle DBC = \angle DAC$。
    • 已知$\angle DAC = 30^{\circ}$，所以$\angle DBC = 30^{\circ}$。
  3. 根据圆周角定理求$\angle ABD$的度数：
    • 因为$\angle ABD$和$\angle ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理可得$\angle ABD = \angle ACD$。
    • 已知$\angle ACD = 50^{\circ}$，所以$\angle ABD = 50^{\circ}$。
  4. 求$\angle ABC$的度数：
    • 由图可知$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$。
    • 把$\angle ABD = 50^{\circ}$，$\angle DBC = 30^{\circ}$代入可得$\angle ABC = 50^{\circ} + 30^{\circ} = 80^{\circ}$。
  5. 根据圆周角定理和三角形内角和定理求$\angle ADB$的度数：
    • 因为$\angle ADB$和$\angle ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，所以$\angle ADB = \angle ACB$。
    • 在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle CAB - \angle ABC$。
    • 把$\angle CAB = 30^{\circ}$，$\angle ABC = 80^{\circ}$代入可得$\angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ}$。
    • 所以$\angle ADB = 70^{\circ}$。