若随机变量 X 与 Y 的协方差 Cov ( X , Y ) =0 ,则以下结论中正确的是( )A. X 与 Y 相互独立B. D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )C. D ( X - Y ) = D ( X ) - D ( Y )D. ( X Y ) = D ( X ) D ( Y )

协方差为零仅说明随机变量$X$与$Y$不相关，但并不能直接推出它们相互独立。此时，方差的性质公式$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$中，协方差项为零，因此$D(X+Y)$和$D(X-Y)$的表达式均可简化为$D(X)+D(Y)$。选项B正确，其他选项均不符合方差或协方差的性质。

选项分析

选项A

协方差为零仅说明$X$与$Y$不相关，但不相关不一定独立。例如，$X$与$Y$可能存在非线性关系，此时$\text{Cov}(X,Y)=0$，但两者并不独立。因此选项A错误。

选项B

根据方差性质：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$
当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，上式简化为：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
因此选项B正确。

选项C

同理，方差性质为：
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$
当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，结果仍为$D(X)+D(Y)$，而非$D(X)-D(Y)$。因此选项C错误。

选项D

协方差定义为：
$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，$E(XY) = E(X)E(Y)$，但与$D(X)D(Y)$无关。因此选项D错误。