题目

12.设 sim N((3,2)^2) ,试求:-|||-(1) (2lt Xleqslant 5) ,(-4lt Xleqslant 10) , (|X|geqslant 2) ,(Xgt 3) ;-|||-(2)确定c,使得 (Xgt c)=P(Xleqslant c) ;-|||-(3)设d满足 (Xgt d)geqslant 0.9 ,则 d=?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算、对称性应用及分位数的求解。

解题思路：

  1. 标准化转换：将非标准正态分布转化为标准正态分布（Z分布），利用标准正态分布函数$\Phi(z)$计算概率。
  2. 对称性应用：正态分布的对称性可快速确定中位数。
  3. 分位数求解：通过概率不等式反推分位数，结合标准正态分布表查值。

破题关键：

  • 标准化公式：$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu=3$，$\sigma=2$。
  • 概率转换：如$P(X > c) = P(X \leq c)$等价于$c$为分布的中位数。
  • 分位数定义：$P(X > d) \geq 0.9$等价于$d$左侧概率不超过$0.1$，对应标准正态的$0.1$分位数。

第（1）题

$P(2 < X \leq 5)$

  1. 标准化：
    $Z_1 = \dfrac{2 - 3}{2} = -0.5$，$Z_2 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$
  2. 查表计算：
    $\Phi(1) = 0.8413$，$\Phi(-0.5) = 0.3085$
    $P = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$

$P(-4 < X \leq 10)$

  1. 标准化：
    $Z_1 = \dfrac{-4 - 3}{2} = -3.5$，$Z_2 = \dfrac{10 - 3}{2} = 3.5$
  2. 查表计算：
    $\Phi(3.5) \approx 1$，$\Phi(-3.5) \approx 0$
    $P = \Phi(3.5) - \Phi(-3.5) \approx 1 - 0 = 0.9996$

$P(|X| \geq 2)$

  1. 补集转换：
    $P(|X| \geq 2) = 1 - P(-2 < X < 2)$
  2. 标准化：
    $Z_1 = \dfrac{-2 - 3}{2} = -2.5$，$Z_2 = \dfrac{2 - 3}{2} = -0.5$
  3. 查表计算：
    $\Phi(-0.5) = 0.3085$，$\Phi(-2.5) = 0.0062$
    $P(-2 < X < 2) = \Phi(-0.5) - \Phi(-2.5) = 0.3085 - 0.0062 = 0.2923$
    $P(|X| \geq 2) = 1 - 0.2923 = 0.6977$

$P(X > 3)$

  1. 对称性：
    均值为$3$，故$P(X > 3) = 0.5$

第（2）题

  1. 等式变形：
    $P(X > c) = P(X \leq c) \Rightarrow P(X \leq c) = 0.5$
  2. 中位数性质：
    正态分布的中位数等于均值，故$c = 3$

第（3）题

  1. 概率转换：
    $P(X > d) \geq 0.9 \Rightarrow P(X \leq d) \leq 0.1$
  2. 标准化：
    $\dfrac{d - 3}{2} \leq \Phi^{-1}(0.1)$
  3. 查分位数：
    $\Phi^{-1}(0.1) \approx -1.28$，解得$d \leq 3 - 2 \times 1.28 = 0.44$
  4. 精确查表：
    实际查表得$d \leq 0.436$