19.（2.0分）若hat(theta)是theta的无偏估计，则hat(theta)^2也是theta^2的无偏估计。（）A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查无偏估计的性质及其在平方运算下的保持性。
解题核心思路：利用无偏估计的定义，结合方差的性质，推导$\hat{\theta}^2$的期望是否等于$\theta^2$。
破题关键点：

1. 无偏估计的定义：若$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计，则$E(\hat{\theta}) = \theta$。
2. 方差与期望的关系：通过方差公式$E(\hat{\theta}^2) = \text{Var}(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})]^2$，分析$\hat{\theta}^2$的期望是否等于$\theta^2$。
3. 方差非零的结论：实际估计量的方差通常不为零，因此$\hat{\theta}^2$的期望会比$\theta^2$大，导致有偏。

步骤1：写出无偏估计的定义
已知$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计，因此：
$E(\hat{\theta}) = \theta.$

步骤2：计算$\hat{\theta}^2$的期望
根据方差的定义：
$\text{Var}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - [E(\hat{\theta})]^2.$
将$E(\hat{\theta}) = \theta$代入，得：
$E(\hat{\theta}^2) = \text{Var}(\hat{\theta}) + \theta^2.$

步骤3：判断无偏性
若$\hat{\theta}^2$是$\theta^2$的无偏估计，则需满足：
$E(\hat{\theta}^2) = \theta^2.$
但根据公式$E(\hat{\theta}^2) = \text{Var}(\hat{\theta}) + \theta^2$，只有当$\text{Var}(\hat{\theta}) = 0$时才成立。
实际中，估计量的方差通常不为零，因此$E(\hat{\theta}^2) \neq \theta^2$，即$\hat{\theta}^2$是有偏估计。