题目
电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占(3)/(5)，得到以下的2-2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 女性市民 合计 500 （1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率α=0.001的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；（3）用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：(χ)^2=(n((ad-bc))^2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，其中n=a+b+c+d．参考数据： α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占$\frac{3}{5}$，得到以下的2-2列联表：
（1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率α=0.001的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；
（3）用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
| 偏好石墨烯电池电动车 | 偏好铅酸电池电动车 | 合计 | |
| 男性市民 | 200 | 100 | |
| 女性市民 | |||
| 合计 | 500 |
（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；
（3）用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
| α | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| xa | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
题目解答
答案
（1）被调查的女性市民人数为500-200-100=200，
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为$200×\frac{3}{5}=120$．
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为200-120=80，
所以2×2列联表为：
零假设H0：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
根据列联表中的数据可以求得
${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\frac{500{(200×120-80×100)}^{2}}{300×200×280×220}≈34.632$，
由于χ2≈34.632＞10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
（2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为$\frac{200}{80}=\frac{5}{2}$，
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B，
则$P(AB)=\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{10}{21}$，$P(A)=\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{11}{21}$，
所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}-\frac{10}{21}×\frac{21}{11}=\frac{10}{11}$．
（3）因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为$\frac{300}{200}=\frac{3}{2}$，
所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．
根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为$\frac{2}{3}$，偏好铅酸电池电动车的概率为$\frac{1}{3}$，
从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2．
“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件Dk(k=0,1,2)，
则$P({D}_{k})=\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{2}^{2-k}}{{C}_{5}^{2}}(k=0,1,2)$．
“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件Em(m=0,1,2)，
则P(E0|D0)=1，$P({E}_{0}|{D}_{1})=\frac{1}{3}$，
$P({E}_{0}|{D}_{2})={(\frac{1}{3})}^{2}=\frac{1}{9}$，$P({E}_{1}|{D}_{1})=\frac{2}{3}$，
$P({E}_{1}|{D}_{2})={C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，$P({E}_{2}|{D}_{2})={(\frac{2}{3})}^{2}=\frac{4}{9}$，
所以P(X=0)=P(D0)P(E0|D0)+P(D1)P(E0|D1)+P(D2)P(E0|D2)
=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×1+\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{1}{3}+\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$，
$P(X=1)=P({D}_{1})P({E}_{1}|{D}_{1})+P({D}_{2})P({E}_{1}|{D}_{2})=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{2}{3}+\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{4}{9}=\frac{8}{15}$，
$P(X=2)=P({D}_{2})P({E}_{2}|{D}_{2})=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{4}{9}=\frac{2}{15}$，
故X的分布列如下：
$E(X)=0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}=\frac{4}{5}$．
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为$200×\frac{3}{5}=120$．
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为200-120=80，
所以2×2列联表为：
| 偏好石墨烯电池电动车 | 偏好铅酸电池电动车 | 合计 | |
| 男性市民 | 200 | 100 | 300 |
| 女性市民 | 80 | 120 | 200 |
| 合计 | 280 | 220 | 500 |
根据列联表中的数据可以求得
${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\frac{500{(200×120-80×100)}^{2}}{300×200×280×220}≈34.632$，
由于χ2≈34.632＞10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
（2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为$\frac{200}{80}=\frac{5}{2}$，
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B，
则$P(AB)=\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{10}{21}$，$P(A)=\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{11}{21}$，
所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}-\frac{10}{21}×\frac{21}{11}=\frac{10}{11}$．
（3）因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为$\frac{300}{200}=\frac{3}{2}$，
所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．
根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为$\frac{2}{3}$，偏好铅酸电池电动车的概率为$\frac{1}{3}$，
从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2．
“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件Dk(k=0,1,2)，
则$P({D}_{k})=\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{2}^{2-k}}{{C}_{5}^{2}}(k=0,1,2)$．
“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件Em(m=0,1,2)，
则P(E0|D0)=1，$P({E}_{0}|{D}_{1})=\frac{1}{3}$，
$P({E}_{0}|{D}_{2})={(\frac{1}{3})}^{2}=\frac{1}{9}$，$P({E}_{1}|{D}_{1})=\frac{2}{3}$，
$P({E}_{1}|{D}_{2})={C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，$P({E}_{2}|{D}_{2})={(\frac{2}{3})}^{2}=\frac{4}{9}$，
所以P(X=0)=P(D0)P(E0|D0)+P(D1)P(E0|D1)+P(D2)P(E0|D2)
=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×1+\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{1}{3}+\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$，
$P(X=1)=P({D}_{1})P({E}_{1}|{D}_{1})+P({D}_{2})P({E}_{1}|{D}_{2})=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{2}{3}+\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{4}{9}=\frac{8}{15}$，
$P(X=2)=P({D}_{2})P({E}_{2}|{D}_{2})=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{4}{9}=\frac{2}{15}$，
故X的分布列如下：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{2}{15}$ |