题目
lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^3-2(x)^2+5}(100{x)^2+15}-|||-__。
。
题目解答
答案
已知极限，根据洛必达法则求导得
。
解析
步骤 1：确定极限类型
观察给定的极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{3}-2{x}^{2}+5}{100{x}^{2}+15}$，可以看到分子和分母都是多项式，且分子的最高次项为$x^3$，分母的最高次项为$x^2$。当$x$趋向于无穷大时，分子和分母都趋向于无穷大，因此这是一个$\frac{\infty}{\infty}$型的极限。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限是$\frac{\infty}{\infty}$型，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求导后的极限。对分子${x}^{3}-2{x}^{2}+5$求导得到$3{x}^{2}-4x$，对分母$100{x}^{2}+15$求导得到$200x$。因此，原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3{x}^{2}-4x}{200x}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3{x}^{2}-4x}{200x}$仍然是$\frac{\infty}{\infty}$型，再次应用洛必达法则。对分子$3{x}^{2}-4x$求导得到$6x-4$，对分母$200x$求导得到$200$。因此，原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {6x-4}{200}$。
步骤 4：计算最终极限
现在极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {6x-4}{200}$是一个简单的极限，分子趋向于无穷大，分母为常数，因此极限值为无穷大。即$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {6x-4}{200}=\infty$。
观察给定的极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{3}-2{x}^{2}+5}{100{x}^{2}+15}$，可以看到分子和分母都是多项式，且分子的最高次项为$x^3$，分母的最高次项为$x^2$。当$x$趋向于无穷大时，分子和分母都趋向于无穷大，因此这是一个$\frac{\infty}{\infty}$型的极限。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限是$\frac{\infty}{\infty}$型，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求导后的极限。对分子${x}^{3}-2{x}^{2}+5$求导得到$3{x}^{2}-4x$，对分母$100{x}^{2}+15$求导得到$200x$。因此，原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3{x}^{2}-4x}{200x}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3{x}^{2}-4x}{200x}$仍然是$\frac{\infty}{\infty}$型，再次应用洛必达法则。对分子$3{x}^{2}-4x$求导得到$6x-4$，对分母$200x$求导得到$200$。因此，原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {6x-4}{200}$。
步骤 4：计算最终极限
现在极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {6x-4}{200}$是一个简单的极限，分子趋向于无穷大，分母为常数，因此极限值为无穷大。即$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {6x-4}{200}=\infty$。