题目

7.(单选题,7分)-|||-7.设单个正态总体 sim N(mu ,(sigma )^2) ,X1,X1,X,X是总体X的样本,X,S^2为样-|||-本均值和样本方差,则方差σ^2未知时,均值μ的置信水平为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_00db420e7d44e71f3ec81b471f7e9efb.jpg-a 的置信区间为 ()-|||-A .(overrightarrow (X)-dfrac (S)(sqrt {n)}(t)_(a):(n-1),overrightarrow (X)+dfrac (S)(sqrt {n)}(z)_(a):(n-1)):-|||-B .(overline (X)-dfrac (S)(sqrt {n)}(t)_(a)=(n),overline (X)+dfrac (S)(sqrt {n)}(t)_(a)(in)-|||-C .(overline (X)-dfrac (S)(sqrt {n)}(t)_(n)(n-1),overline (X)div dfrac (S)(sqrt {n)}(t)_(n)(n-1))-|||-D .(overline (X)-dfrac (sigma )(sqrt {n)}(varepsilon )_(a)=a -overline (X)+dfrac (sigma )(sqrt {n)}(z)_(a)=) .

题目解答

答案

7.A :由题意知,总体 $X\approx N(\mu ,{\sigma }^{2})$, 且总体方差σ^2未知,所以用t分布构造置信区间,即 $1-a$ 的置信区间为$(\overline {X}-\dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{n}{z}_{n}(n-1),\overline {x}+\dfrac {{s}_{n}}{\sqrt {n}}{z}_{n}(n-1)$
A

解析

考查要点：本题主要考查正态总体均值在方差未知时的置信区间构造方法，需掌握t分布的应用条件及置信区间的结构。

解题核心思路：
当总体方差σ²未知时，样本均值的抽样分布服从t分布，因此置信区间的形式为：
$\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)$
其中，$t_{\alpha/2}(n-1)$为自由度为$n-1$的t分布的上$\alpha/2$分位数。

破题关键点：

  1. 判断分布类型：方差未知时用t分布，而非z分布。
  2. 分位数的正确形式：应为$t_{\alpha/2}(n-1)$，而非$t_{\alpha}(n)$或z分位数。
  3. 排除干扰项：选项中若出现σ或自由度错误，可直接排除。

选项分析：

  • 选项A：
    左侧用$t_{a}(n-1)$，右侧用$z_{a}(n-1)$。
    问题：右侧应为t分位数，且分位数应为$\alpha/2$，而非$\alpha$。
    结论：存在错误，但可能为排版问题，需结合答案判断。

  • 选项B：
    分位数为$t_{a}(n)$，自由度错误（应为$n-1$）。
    结论：错误。

  • 选项C：
    右侧用除号“$\div$”代替加减号，结构错误。
    结论：错误。

  • 选项D：
    包含σ，但题目中方差σ²未知，不可用。
    结论：错误。

最终判断：
根据题目答案提示，正确选项为A，推测选项A实际应为双侧t分位数（可能排版错误）。