2.2 设F(x)是随机变量X的分布函数,则下列函数中一定不是分布函数的是 ()-|||-(A) F^2(x) (B) F^3(x) (C) F(2x) (D) 2F(x)

分布函数的定义与性质是解决本题的关键。分布函数$F(x)$必须满足以下条件：

1. 非减性：若$x_1 < x_2$，则$F(x_1) \leq F(x_2)$；
2. 右连续性：$\lim_{h \to 0^+} F(x+h) = F(x)$；
3. 边界条件：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
4. 取值范围：对任意$x$，$0 \leq F(x) \leq 1$。

破题关键在于分析每个选项是否违反上述性质。特别地，选项(D) $2F(x)$会破坏取值范围（当$x \to +\infty$时，$2F(x) = 2 > 1$），因此一定不是分布函数。

选项分析

(A) $F^2(x)$

• 非减性：若$F(x)$非减，则$F^2(x)$也非减（因$F(x) \geq 0$）。
• 边界条件：$F(-\infty)^2 = 0$，$F(+\infty)^2 = 1$。
• 取值范围：$0 \leq F^2(x) \leq 1$。
• 结论：满足分布函数条件。

(B) $F^3(x)$

• 非减性：同理，$F^3(x)$非减。
• 边界条件：$F(-\infty)^3 = 0$，$F(+\infty)^3 = 1$。
• 取值范围：$0 \leq F^3(x) \leq 1$。
• 结论：满足分布函数条件。

(C) $F(2x)$

• 非减性：若$x_1 < x_2$，则$2x_1 < 2x_2$，故$F(2x_1) \leq F(2x_2)$。
• 边界条件：$\lim_{x \to -\infty} F(2x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(2x) = 1$。
• 取值范围：$0 \leq F(2x) \leq 1$。
• 结论：满足分布函数条件（例如，若$X$的分布函数为$F(x)$，则$Y = X/2$的分布函数为$F(2x)$）。

(D) $2F(x)$

• 边界条件：$\lim_{x \to +\infty} 2F(x) = 2 \cdot 1 = 2$，违反$F(+\infty) = 1$。
• 取值范围：当$x$足够大时，$2F(x) > 1$，超出分布函数的取值范围。
• 结论：不满足分布函数条件。