已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y相关系数等于1的充分必要条件是A. cov(X+Y，X)=0．B. cov(X+Y，Y)=0．C. cov(X+Y，X-Y)=0．D. cov(X-Y，X)=0．

考查要点：本题主要考查随机变量相关系数与协方差的关系，以及如何通过协方差条件推导相关系数为1的充要条件。

解题核心思路：

1. 相关系数公式：$\rho_{X,Y} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，当$\rho_{X,Y}=1$时，协方差$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X \sigma_Y$。
2. 方差相同：题目中$\sigma_X = \sigma_Y \neq 0$，因此$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X^2$是相关系数为1的充要条件。
3. 选项分析：通过展开各选项的协方差表达式，判断其是否等价于$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X^2$。

破题关键点：

• 选项D的展开：$\text{cov}(X-Y, X) = \text{Var}(X) - \text{cov}(X,Y)$，令其为0可直接得到$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X^2$，与相关系数为1的条件完全一致。

选项D的推导

展开$\text{cov}(X-Y, X)$：
$\begin{aligned}\text{cov}(X-Y, X) &= \text{cov}(X,X) - \text{cov}(Y,X) \\&= \text{Var}(X) - \text{cov}(X,Y) \\&= \sigma_X^2 - \text{cov}(X,Y).\end{aligned}$
若$\text{cov}(X-Y, X) = 0$，则$\sigma_X^2 - \text{cov}(X,Y) = 0$，即$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X^2$，此时$\rho_{X,Y} = 1$。
反之，若$\rho_{X,Y} = 1$，则$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X^2$，代入上式可得$\text{cov}(X-Y, X) = 0$。因此，选项D是充要条件。

其他选项分析

• 选项C：$\text{cov}(X+Y, X-Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) = 0$（因方差相等），与相关系数无关，恒成立。
• 选项A/B：展开后无法直接推出$\text{cov}(X,Y) = \sigma_X^2$，条件不足。