(一元函数积分学 第6届决赛)不定积分I=int (x^2+1)/(x^4)+1 mathrm(d)x= ( ) .A. arctan (x-frac(1)/(x))(sqrt(2))+C ;B. arctan(sqrt(2)x-1)+arctan(sqrt(2)x+1)+C .C. (1)/(sqrt(2)) arctan(x-(1)/(x))+C ;D. (1)/(sqrt(2)) arctan (x-frac(1)/(x))(sqrt(2))+C ;
(一元函数积分学 第6届决赛)不定积分 $I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} \mathrm{d}x=$ ( ) . A. $\arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C$ ; B. $\arctan(\sqrt{2}x-1)+\arctan(\sqrt{2}x+1)+C$ . C. $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(x-\frac{1}{x})+C$ ; D. $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C$ ;
题目解答
答案
我们来求解这个不定积分：
$I = \int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} \, dx$
第一步：观察被积函数的结构
被积函数是：
$\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1}$
注意到分母 $ x^4 + 1 $ 不是常见的因式分解形式，但我们可以尝试将其因式分解。
我们知道：
$x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{2}x)^2$
这是一个平方差公式：
$x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$
所以：
$x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$
第二步：对分子进行适当变形，尝试拆分
我们考虑将分子 $ x^2 + 1 $ 与分母的结构匹配。
注意到：
$\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{x^2 + 1}{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)}$
我们尝试将这个分式拆分成两个部分，使用部分分式分解或配凑法。
但这里有一个更巧妙的方法：分子分母同除以 $ x^2 $，尝试引入 $ x - \frac{1}{x} $ 的结构。
第三步：分子分母同除以 $ x^2 $
$\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}}$
注意到：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2$
但更关键的是：观察分子 $ 1 + \frac{1}{x^2} $，它正好是 $ \frac{d}{dx}\left(x - \frac{1}{x}\right) $ 的导数！
因为：
$\frac{d}{dx}\left(x - \frac{1}{x}\right) = 1 + \frac{1}{x^2}$
这提示我们做变量代换。
第四步：令 $ u = x - \frac{1}{x} $
则：
$du = \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx$
而我们有：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 = u^2 + 2$
现在我们回到原积分：
$I = \int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2} dx$
现在代入 $ u = x - \frac{1}{x} $，则 $ du = \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx $，所以：
$I = \int \frac{1}{u^2 + 2} du$
这是一个标准积分：
$\int \frac{1}{u^2 + 2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C$
代回 $ u = x - \frac{1}{x} $，得：
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}} \right) + C$
第五步：对照选项
我们得到的结果是：
$\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}} \right) + C}$
查看选项：
- A. $ \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C $ —— 缺少 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ 系数，错
- B. $ \arctan(\sqrt{2}x-1)+\arctan(\sqrt{2}x+1)+C $ —— 形式不同，可能不等价
- C. $ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(x-\frac{1}{x})+C $ —— 参数没除 $ \sqrt{2} $，错
- D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C $ —— 完全匹配！
✅ 正确答案是：D
$\boxed{\text{D. } \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C}$
解析
本题考查一元函数积分学中不定积分的计算，解题思路是通过对被积函数进行变形，利用换元法将复杂的积分转化为标准积分形式进行求解。
- 首先对被积函数$\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}$的分母进行变形：
- 已知$x^{4}+1=x^{4}+2x^{2}+1 - 2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}x)^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，可得$x^{4}+1=(x^{2}+\sqrt{2}x + 1)(x^{2}-\sqrt{2}x + 1)$。
- 然后对被积函数分子分母同除以$x^{2}$：
- $\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}=\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$。
- 又因为$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x-\frac{1}{x})^{2}+2$，且$\frac{d}{dx}(x - \frac{1}{x})=1+\frac{1}{x^{2}}$。
- 接着进行换元：
- 令$u = x-\frac{1}{x}$，则$du=(1+\frac{1}{x^{2}})dx$，且$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=u^{2}+2$。
- 原积分$I=\int\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx=\int\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}dx=\int\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{(x - \frac{1}{x})^{2}+2}dx$。
- 把$u = x-\frac{1}{x}$和$du=(1+\frac{1}{x^{2}})dx$代入上式，得到$I=\int\frac{1}{u^{2}+2}du$。
- 最后计算标准积分：
- 根据积分公式$\int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$（这里$a = \sqrt{2}$，$x = u$），对于$\int\frac{1}{u^{2}+2}du=\int\frac{1}{u^{2}+(\sqrt{2})^{2}}du$，可得$\int\frac{1}{u^{2}+2}du=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan(\frac{u}{\sqrt{2}})+C$。
- 再把$u = x-\frac{1}{x}$代回，得到$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan(\frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}})+C$。