题目

15.分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组:(1)}x_(1)+2x_(2)+3x_(3)=1,2x_(1)+2x_(2)+5x_(3)=2,3x_(1)+5x_(2)+x_(3)=3;(2)}x_(1)+x_(2)+x_(3)=2,x_(1)+2x_(2)+4x_(3)=3,x_(1)+3x_(2)+9x_(3)=5.

15.分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组: (1)$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=1,\\2x_{1}+2x_{2}+5x_{3}=2,\\3x_{1}+5x_{2}+x_{3}=3;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=2,\\x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3,\\x_{1}+3x_{2}+9x_{3}=5.\end{cases}$

题目解答

答案

(1) **克拉默法则** 计算行列式 $D=15$，$D_1=15$，$D_2=0$，$D_3=0$，得解： \[ \boxed{\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=0 \\ x_3=0 \end{cases}} \] (2) **克拉默法则** 计算行列式 $D=2$，$D_1=4$，$D_2=-1$，$D_3=1$，得解： \[ \boxed{\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-\frac{1}{2} \\ x_3=\frac{1}{2} \end{cases}} \]

解析

本题主要考察克拉默法则在线性方程组求解中的应用，克拉默法则适用于变量个数与方程个数相等且系数行列式不为零的线性方程组，其核心是通过计算系数行列式$D$及各变量对应的行列式$D_j$（将$D$中第$j$列替换为方程组常数项列得到的行列式），进而得到$x_j=\frac{D_j}{D}$。

（1）详细计算过程

步骤1：写出系数矩阵与增广矩阵

给定线性方程组：
$\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\2x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 2 \\3x_1 + 5x_2 + x_3 = 3\end{cases}$
其系数矩阵$A$为：
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 2 & 5 \\3 & 5 & 1\end{pmatrix}$
常数项列$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$。

步骤2：计算系数行列式$D=\det(A)$

按三阶行列式展开公式$\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$：
$\begin{align*}D&=1\times(2\times1 - 5\times5)-2\times(2\times1 - 5\times3)+3\times(2\times5 - 2\times3)\\&=1\times(2 - 25)-2\times(2 - 15)+3\times(10 - 6)\\&=1\times(-23)-2\times(-13)+3\times4\\&=-23 + 26 + 12=15\end{align*}$

步骤3：计算$D_1,D_2,D_3$

  • $D_1$：将$A$中第1列替换为$\boldsymbol{b}$得：
    $A_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&5\\3&5&1\end{pmatrix}\quad(\text{第1列替换为}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\text{后与原矩阵相同，因原方程常数项列即第1列})$
    故$D_1=D=15$。

  • $D_2$：将$A$中第2列替换替换为$\boldsymbol{b}$得：
    $A_2=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&5\\3&3&1\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}D_2&=1\times(2\times1 - 5\times3)-1\times(2\times1 - 5\times3)+3\times(2\times3 - 2\times3)\\&=1\times(2 - 15)-1\times(2 - 15)+3\times(6 - 6)\\&=(-13)-(-13)+0=0\end{align*}$

  • $D_3$：将$A$中第3列替换为$\boldsymbol{b}$得：
    $A_3=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&2\\3&5&3\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}D_3&=1\times(2\times3 - 2\times5)-2\times(2\times3 - 2\times3)+1\times(2\times5 - 2\times3)\\&=1\times(6 - 10)-2\times(6 - 6)+1\times(10 - 6)\\&=(-4)-0 + 4=0\end{align*}$

步骤4：求方程组的解

根据克拉默法则：$x_j=\frac{D_j}{D}$，则：
$x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{15}{15}=1,\quad x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{0}{15}=0,\quad x_3=\frac{D_3}{D}=\frac{0}{15}=0$

（2）详细计算过程

步骤1：写出系数矩阵与增广矩阵

给定线性方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 3 \\x_1 + 3x_2 + 9x_3 = 5\end{cases}$
其系数矩阵$A$为：
$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 4 \\1 & 3 & 9\end{pmatrix}$
常数项列$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}$。

步骤2：计算系数行列式$D=\det(A)$

$\begin{align*}D&=1\times(2\times9 - 4\times3)-1\times(1\times9 - 4\times1)+1\times(1\times3 - 2\times1)\\&=1\times(18 - 12)-1\times(9 - 4)+1\times(3 - 2)\\&=6 - 5 + 1=2\end{align*}$

步骤3：计算$D_1,D_2,D_3$

  • $D_1$：将$A$中第1列替换为$\boldsymbol{b}$得：
    $A_1=\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&4\\5&3&9\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}D_1&=2\times(2\times9 - 4\times3)-1\times(3\times9 - 4\times5)+1\times(3\times3 - 2\times5)\\&=2\times(18 - 12)-1\times(27 - 20)+1\times(9 - 10)\\&=2\times6 - 7 - 1=12 - 8=4\end{align*}$

  • $D_2$：将$A$中第2列替换为$\boldsymbol{b}$得：
    $A_2=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&4\\1&5&9\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}D_2&=1\times(3\times9 - 4\times5)-2\times(1\times9 - 4\times1)+1\times(1\times5 - 3\times1)\\&=1\times(27 - 20)-2\times(9 - 4)+1\times(5 - 3)\\&=7 - 10 + 2=-1\end{align*}$

  • $D_3$：将$A$中第3列替换为$\boldsymbol{b}$得：
    $A_3=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}D_3&=1\times(2\times5 - 3\times3)-1\times(1\times5 - 3\times1)+2\times(1\times3 - 2\times1)\\&=1\times(10 - 9)-1\times(5 - 3)+2\times(3 - 2)\\&=1 - 2 + 2=1\end{align*}$

步骤4：求方程组的解

根据克拉默法则：$x_j=\frac{D_j}{D}$，则：
$x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{4}{2}=2,\quad x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2},\quad x_3=\frac{D_3}{D}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$