22.(单选题，3.6分)下列选项中不属于cosz性质的是( )A.(A) cosz以2π为周期;B. (B) cosz是偶函数;C. (C) cosz是有界函数;D. (D) cosz在Z平面解析.

本题主要考查复变函数 $\cos z z$ 的性质，解题思路是依次分析每个选项所描述的性质是否符合 $\cos z$ 的实际情况。

• 选项AA：周期性
  根据复变函数中余弦函数的定义，$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$。
  计算 $\cos(z + 2\pi)$：
  $\begin{align*}\cos(z + 2\pi)&=\frac{e^{i(z + 2\pi)i}+e^{-(z + 2\pi)i}}{2}\\&=\frac{e^{iz}\cdot e^{2\pi i+e^{-iz}\cdot e^{-2\pi i}}{2}\end{align*}$
  因为 $e^{2\pi i\pi}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1$，$e^{-2 i\pi}=\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi)=1$，所以
  $\begin{align*}\cos(z + 2\pi)&=\frac{e^{iz}\cdot1+e^{-iz}\1}{2}\\&=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\&=\cos z\end{align*}$
  这表明 $\cos z$ 以 $2\pi$ 为周期，选项A正确。
• 选项B：偶函数
  计算 $\cos(-z)$：
  $\begin{align*}\cos(-z)&=\frac{e^{(-z)i}+e^{-(-z)i}}}{2}\\&=\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}\\&=\cos z\end{align*}$
  满足偶函数的定义，即 $\cos(-z)=\cos z$，所以 $\cos z$ 是偶函数，选项B正确。
• 选项C有界性
  对于复数 $z = iy$（$y$ 为实数），将其代入 $\cosz的定义式：
  $\begin{align*}\cos(iy)&=\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy}}{2}\\&=\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}\\&=\cosh y\end*}$
  根据双曲余弦函数 $\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$，当 $y\to+\infty$ 时，$e^y 趋于正无穷，e^{-y} 趋于0，所以 $\cosh y$ 趋于正无穷；当 $y\to-\infty$ 时，e^y 趋于0，e^{-y} 趋于正无穷，所以 $\cosh y$ 也趋于正无穷。这说明 $\cosh y$ 随 $|y|$ 增大无界，即 $\cos z$ 在复平面上无界，选项任意的 $(\cos z)$ 性质，选项C错误。
• 选项D解析性
  根据复变函数解析的定义，若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可导，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。
  对 $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ 求导，根据求导公式 $(e^{az})^\prime = ae^{az}$，可得：
  $\begin{align*}(\cos z)^\prime&=\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^\prime\\&=\frac{1}{2}(e^{iz}\cdot i+e^{-iz}\cdot(-i))\\&=-\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\&=-\sin z\end*}$
  因为 $-\sin z$ 在整个复平面上处处存在，所以 $\cos z$ 在整个复平面上解析，选项D正确。