题目

(12)设A=(a_(ij))_(ntimes n)为n阶方阵，|A|=1，且A的每列元素之和均为k(k≠0)，则A的代数余子式之和A_(11)+A_(12)+...+A_(1n)=(1)/(k).

(12)设$A=(a_{ij})_{n\times n}$为n阶方阵，|A|=1，且A的每列元素之和均为k(k≠0)，则A的代数余子式之和$A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1n}=\frac{1}{k}$.

题目解答

答案

由题意，矩阵 $ A $ 的每列元素和为 $ k $，即 $ A\mathbf{v} = k\mathbf{v} $，其中 $ \mathbf{v} = (1, 1, \ldots, 1)^T $。 由于 $ |A| = 1 $，有 $ A^{-1} = A^* $，其中 $ A^* $ 为伴随矩阵。 考虑 $ A^{-1}A = I $，两边右乘 $ \mathbf{v} $ 得： \[ A^{-1}A\mathbf{v} = A^{-1}(k\mathbf{v}) = kA^{-1}\mathbf{v} = \mathbf{v}. \] 解得 $ A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{k}\mathbf{v} $，即 $ A^{-1} $ 的每列元素和为 $ \frac{1}{k} $。 而 $ A^{-1} $ 的元素为 $ A $ 的代数余子式，故 $ A_{11} + A_{12} + \cdots + A_{1n} = \frac{1}{k} $。 答案：$\boxed{\frac{1}{k}}$

解析

考查要点：本题主要考查代数余子式的性质、伴随矩阵与逆矩阵的关系，以及矩阵与向量乘法的应用。

解题核心思路：

  1. 利用列和条件构造特征方程：由每列元素和为$k$，可得矩阵$A$与全1向量$\mathbf{v}$的乘积关系$A\mathbf{v}=k\mathbf{v}$。
  2. 结合行列式与逆矩阵：已知$|A|=1$，可得$A^{-1}=A^*$（伴随矩阵），从而将问题转化为求逆矩阵的列和。
  3. 关联代数余子式之和：通过逆矩阵的列和与代数余子式的关系，直接得出结果。

破题关键点：

  • 矩阵与向量乘法的几何意义：将列和条件转化为矩阵作用于全1向量的结果。
  • 逆矩阵与伴随矩阵的等价性：利用行列式为1的特殊条件，简化逆矩阵的表达式。
  • 代数余子式的列和性质：通过逆矩阵的列和推导代数余子式的和。

步骤1：构造矩阵与向量的乘积关系
由题意，矩阵$A$的每列元素和均为$k$，即对任意列向量$\mathbf{a}_j$（$j=1,2,\dots,n$），有：
$\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{v} = k \quad \text{其中} \quad \mathbf{v} = (1,1,\dots,1)^T$
因此，矩阵$A$与向量$\mathbf{v}$的乘积为：
$A\mathbf{v} = k\mathbf{v}$

步骤2：利用行列式与逆矩阵的关系
已知$|A|=1$，根据伴随矩阵的性质$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$，可得：
$A^{-1} = A^*$
其中$A^*$为$A$的伴随矩阵，其元素为代数余子式的转置。

步骤3：求逆矩阵作用于$\mathbf{v}$的结果
对$A\mathbf{v}=k\mathbf{v}$两边左乘$A^{-1}$，得：
$A^{-1}A\mathbf{v} = A^{-1}(k\mathbf{v}) \implies \mathbf{v} = kA^{-1}\mathbf{v}$
解得：
$A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{k}\mathbf{v}$
这表明$A^{-1}$的每列与$\mathbf{v}$的点积均为$\frac{1}{k}$，即$A^{-1}$的每列元素和为$\frac{1}{k}$。

步骤4：关联代数余子式之和
由于$A^{-1} = A^*$，而$A^*$的第$i$行第$j$列元素为$A_{ji}$（$A$的代数余子式），因此：
$A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{k}\mathbf{v} \implies A^*\mathbf{v} = \frac{1}{k}\mathbf{v}$
特别地，$A^*$的第一列元素和（对应$A$的第一行代数余子式之和）为：
$A_{11} + A_{12} + \cdots + A_{1n} = \frac{1}{k}$