如果对各观测值加上一个常数a,其标准差( )A. 扩大√a倍B. 扩大a倍C. 扩大a2倍D. 不变

本题考查标准差的性质，解题思路是通过设出原始数据，根据标准差的计算公式求出原始数据的标准差，再求出各观测值加上常数$a$后的数据的标准差，最后比较两个标准差是否相等。

设原始数据为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，其平均数为$\overline{x}$，根据平均数的计算公式可得：
$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
根据标准差的计算公式，原始数据的标准差$s$为：
$s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}$

现在对各观测值加上一个常数$a$，得到新的数据$y_1,y_2,\cdots,y_n$，其中$y_i = x_i + a$，$i = 1,2,\cdots,n$。
新数据的平均数$\overline{y}$为：
$\overline{y}=\frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}=\frac{(x_1 + a) + (x_2 + a) + \cdots + (x_n + a)}{n}$
$=\frac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) + na}{n}=\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}+a=\overline{x}+a$

新数据的标准差$s'$为：
$s' = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ((x_i + a) - (\overline{x} + a))^2}$
$=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_i + a - \overline{x} - a)^2}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}=s$

由此可见，新数据的标准差与原始数据的标准差相等，即对各观测值加上一个常数$a$，其标准差不变。